Όριο ακολουθίας (02)

#1

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu-\varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({\nu})}$ .

#2

Η ακολουθία $u_{\nu}=({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({1})$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , είναι γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη. Άρα συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, έστω

. Αλλά τότε $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{u_{\nu}}=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\sin({u_{\nu-1}})}\quad\Rightarrow\quad{l}=\sin{l}\quad\Rightarrow\quad{l=0}$ . Άρα $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{u_{\nu}}=0$ .

Στο παρακάτω σχήμα οι όροι των ακολουθιών $({u_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}}$ και $({-u_{\nu}})_{\nu\in\mathbb{N}}$ πάνω στον άξονα $y^{\prime}y$ και σαν (προσανατολισμένα) τόξα πάνω στον μοναδιαίο τριγωνομετρικό κύκλο.

: sin(sin(..(sin(n))..)).png (26.84 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Έστω η ακολουθία $a_{\nu}(y)=({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({y})$ , $\nu\in\mathbb{N}$ , $y\in[{-1,1}]$ .

Θέτωντας $y=\sin({x})$ , όπου $x\in\mathbb{R}$ , ισχύει $-1\leqslant\sin({x})=y\leqslant1$ . Επειδή η συνάρτηση $\sin$ είναι γνησίως αύξουσα στο

με επαναλαμβανόμενες εφαρμογές της προκύπτουν

$\begin{array}{ccc} -u_1=& \sin(-1)\leqslant\sin({\sin(x)})=a_1(y)\leqslant\sin(1)= & u_1\vspace{0.1cm}\\ -u_2=& \sin({\sin(-1)})\leqslant\sin({\sin({\sin(x)})})=a_2(y)\leqslant\sin({\sin(1)})=& u_2\vspace{0.1cm}\\ \dotfill & \dotfill & \dotfill\vspace{0.1cm}\\ {-u_{\nu}}= & ({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({-1})\leqslant({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu+1 \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({x})=a_{\nu}(y)\leqslant({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({1})= & u_{\nu}\vspace{0.1cm}\\ \dotfill & \dotfill & \dotfill \end{array}$

Άρα $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{a_{\nu}}(y)=0$ , $y\in[{-1,1}]$ και επειδή $\sin({\nu+1})\in[{-1,1}]$ , για $\nu\in\mathbb{N}$ , προκύπτει

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{a_{\nu}}(y)=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{a_{\nu}}(\sin({\nu+1}))=\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu+1 \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({\nu+1})}=$

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{({\underbrace{\sin\circ\sin\circ\ldots\circ\sin}_{\nu \ \varphi{o}\rho\varepsilon\varsigma}})({\nu})}=0\,.\quad\square$

Όριο ακολουθίας (02)

Όριο ακολουθίας (02)

Re: Όριο ακολουθίας (02)

Μέλη σε σύνδεση