Άθροισμα αντιστρόφων

peter · #1

Έστω $n\geq 2$ και $x_1,\ldots, x_n$ διακεκριμένοι αριθμοί του [-1,1]

. Για κάθε $i\in \{1,\ldots,n\}$ θέτουμε $p_i:=\prod_{j\neq i}|x_j-x_i|$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}\geq 2^{n-2}$ .

#2

Θα χρησιμοποιήσουμε τις βασικές ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev.

Τα πολυώνυμα Chebyshev $\displaystyle{{T_n}\left( x \right)}$ ορίζονται αναδρομικά ως εξής:

$\bullet$ $\displaystyle{{T_0}\left( x \right) = 1}$ , $\displaystyle{{T_1}\left( x \right) = x}$ ,

$\bullet$ $\displaystyle{{T_{n + 1}}\left( x \right) = 2x{T_n}\left( x \right) - {T_{n - 1}}\left( x \right)}$ , για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

Οι ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev που θα χρειαστούμε είναι οι εξής:

(1) Για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ , το $\displaystyle{{T_n}\left( x \right)}$ είναι πολυώνυμο βαθμού $\displaystyle{n}$ , με συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του ίσο με $\displaystyle{{2^{n - 1}}}$ .

(2) Ισχύει $\displaystyle{\boxed{{T_n}\left( {\cos x} \right) = \cos \left( {nx} \right)}}$ για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{n}$ και κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ .
Ειδικότερα, ισχύει $\displaystyle{\left| {{T_n}\left( x \right)} \right| \le 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ { - 1,1} \right]}$ .

Θα εφαρμόσουμε τον τύπο (πολυωνυμικής) παρεμβολής του Lagrange για το πολυώνυμο $\displaystyle{{T_{n - 1}}\left( x \right)}$ και τα σημεία $\displaystyle{{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}}$ :

$\boxed{\displaystyle{{T_{n - 1}}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{T_{n - 1}}\left( {{x_i}} \right)} \cdot \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {j = 1}\\ {j \ne i} \end{array}}^n {\frac{{x - {x_j}}}{{{x_i} - {x_j}}}} }}$ $\color{red} \left(\bigstar\right)$ .

Εξισώνοντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων στη σχέση $\color{red} \left(\bigstar\right)$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{{2^{n - 2}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{T_{n - 1}}\left( {{x_i}} \right)} \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {j = 1}\\ {j \ne i} \end{array}}^n {\frac{1}{{{x_i} - {x_j}}}} }$ .

Παίρνοντας απόλυτες τιμές, έχουμε ότι

$\displaystyle{{2^{n - 2}} \le \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{T_{n - 1}}\left( {{x_i}} \right)} \right|} \prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {j = 1}\\ {j \ne i} \end{array}}^n {\frac{1}{{\left| {{x_i} - {x_j}} \right|}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{T_{n - 1}}\left( {{x_i}} \right)} \right|} \frac{1}{{{p_i}}} \le \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{p_i}}}} }$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Άθροισμα αντιστρόφων

Άθροισμα αντιστρόφων

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

Μέλη σε σύνδεση