Όριο αθροίσματος (22)

#1

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{k+4}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}}$ .

#2

Έχουμε $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\frac{k+4}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k} + \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}}$
$\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\binom{n+2}{k+2} + \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\binom{n+3}{k+3}}$
$\displaystyle{ = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\left(2^{n+2} - \binom{n+2}{0} - \binom{n+2}{1} \right) + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\left(2^{n+3} - \binom{n+3}{0} - \binom{n+3}{1} - \binom{n+3}{2} \right) }$

Από εδώ βλέπουμε άμεσα ότι το ζητούμενο όριο ισούται με

.

#3

Μια ακόμα λύση εδώ και εδώ το αντίστοιχο τεύχος του SSM με τις λύσεις.

Όριο αθροίσματος (22)

Όριο αθροίσματος (22)

Re: Όριο αθροίσματος (22)

Re: Όριο αθροίσματος (22)

Μέλη σε σύνδεση