Δυναμοσειρά

#1

Νά βρεθούν η ακτίνα σύγκλισης καί τό άθροισμα τής δυναμοσειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n\,({n+1})}{2}\,x^{n-1}$ στό διάστημα σύγκλισής της.

#2

grigkost έγραψε:Νά βρεθούν η ακτίνα σύγκλισης καί τό άθροισμα τής δυναμοσειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n\,({n+1})}{2}\,x^{n-1}$ στό διάστημα σύγκλισής της.

Το κριτήριο λόγου, αφού $lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = ... = |x|$ , δίνει ότι η ακτίνα σύγκλισης εiναι 1. Στα άκρα $\pm1$ η σειρά αποκλίνει επειδή οι όροι δεν τείνουν στο 0.
Για το άθροισμα, παραγωγίζουμε δύο φορές την ταυτότητα 1 + x + x^2 + ... = 1/(1-x)

. Η παραγώγιση όρο προς όρο δυναμοσειρών επιτρέπεται, μέσα στην ακτίνα σύγκλισης.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Αναλυτικότερα:

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{+\infty}{x^n}=-\frac{1}{x-1}\quad\Leftrightarrow\quad1+\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{x^n}=-\frac{1}{x-1}\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{n\,x^{n-1}}=\frac{1}{({x-1})^2}\quad\Leftrightarrow$
$\displaystyle1+\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}{n\,x^{n-1}}=\frac{1}{({x-1})^2}\quad\Leftrightarrow\quad\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}{n({n-1})\,x^{n-2}}=-\frac{2}{({x-1})^3}\quad\Leftrightarrow$
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}{({n+1})({n+1-1})\,x^{n+1-2}}=-\frac{2}{({x-1})^3}\quad\Leftrightarrow$
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n({n+1})}{2}\,x^{n-1}=-\dfrac{1}{({x-1})^3}\,,\quad x\in\left({-1,\,1}\right).\quad\square$

#4

grigkost έγραψε:Νά βρεθούν η ακτίνα σύγκλισης καί τό άθροισμα τής δυναμοσειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n\,({n+1})}{2}\,x^{n-1}$ στό διάστημα σύγκλισής της.

Έδωσα μία λύση παραπάνω. Μία δεύτερη είναι η εξής: παρατηρούμε ότι το γινόμενο Cauchy δυναμοσειρών δίνει

$(1+x + x^2 + x^3 + ... )(1 + 2x + 3x^2 + ... ) = 1 + (1+2)x + (1+2+3)x^2 + ... = \,$ η δοθείσα.

Είναι ακόμη από γεωμετρική πρόοδο και ανάπτυγμα Newton, αντίστοιχα

$1+x + x^2 + x^3 + ... = \frac{1}{1-x}, \, 1 + 2x + 3x^2 + ... = (1-x)^{-2}\,$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Δυναμοσειρά

Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Μέλη σε σύνδεση