Οριο

papel · #1

Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {f\left( a \right) \cdot f\left( {a + \frac{h}{n}} \right) \cdot f\left( {a + \frac{{2 \cdot h}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}}$

#2

papel έγραψε:Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {f\left( a \right) \cdot f\left( {a + \frac{h}{n}} \right) \cdot f\left( {a + \frac{{2 \cdot h}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}}$

Χωρίς καμμιά υπόθεση γιά τήν συνάρτηση(??)

;

#3

papel έγραψε:Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {f\left( a \right) \cdot f\left( {a + \frac{h}{n}} \right) \cdot f\left( {a + \frac{{2 \cdot h}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}}$

Ενδιαφέρον.

Ο λογάριθμος του "μέσα" είναι άθροισμα Riemann του $\frac{1}{h}\int_a^{a+h}\log f(x)dx$ .
(Υπέθεσα f θετική και συνεχής ή έστω, ολοκληρώσιμη).

Τελική απάντηση: $e^{\frac{1}{h}\int_a^{a+h}\log f(x)dx}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Edit: διόρθωσα ένα 1/h και το log που έλειπαν, λόγω ... ταχύτητας.

mathxl · #4

Θεωρώ F θετική ...με επιφύλαξη...
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\ln {{\left[ {f\left( a \right)\cdotf\left( {a + \frac{h}{n}} \right)\cdotf\left( {a + \frac{{2\cdoth}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]}^{\frac{1}{n}}}} \right] = \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^n {\ln } f\left( {a + \frac{{hk}}{n}} \right)} \right] = \int\limits_0^1 {\ln f\left( {a + xh} \right)dx} \\ \end{array}}$

$\displaystyle{L = {e^{\int\limits_0^1 {\ln f\left( {a + xh} \right)dx} }}}$

ΥΓ : όπως βλέπω από τις έλλες λύσεις...θεώρησα ότι είναι και ολοκληρώσιμη

ΥΓ: Διόρθωσα επιπόλαιο λάθος στο άνω όριο του ολοκληρώματος

papel · #5

Επικολω την εκφωνηση απο το παμπαλαιο βιβλιο:
Μαλλον του mathxl ειναι πιο κοντα στο ζητουμενο.

#6

papel έγραψε:Επικολω την εκφωνηση απο το παμπαλαιο βιβλιο:
Μαλλον του mathxl ειναι πιο κοντα στο ζητουμενο.

Αφού το βιβλίο είναι παλιό, εξυπακούεται (με τα τότε στάνταρ) ότι υποθέτει η φ
είναι συνεχής. Αλλιώς δεν είναι σωστό το αποτέλεσμα. Μάλιστα μπορεί να μην έχει καν νόημα η απάντηση.

Π.χ. a = 0, h = 1 και φ(χ) = 1 αν χ ρητός, 0 αλλιώς.

Τώρα, το μεν αριστερό μέλος (το όριο) είναι 1 (όλοι οι όροι είναι 1, και η παράσταση είναι σταθερή), ενώ το ολοκλήρωμα δεν έχει νόημα.

Μ.

Οριο

Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Μέλη σε σύνδεση