Άσκηση μέτρο Lebesgue

Akerlof · #1

Γνωρίζει κάποιος πως αποδεικνύεται η παρακάτω,
" Δείξατε ότι αν $E\subseteq \mathbb{R}$ ,(όπου $E\neq {\O}$ ) είναι μετρητό κατά Lebesgue

και $Y \in \mathbb{R}$ , τότε $E + Y : = \{ X + Y : X \in E \}$ είναι μετρητό κατά Lebesgue

και $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ "
Η άσκηση είναι από το βιβλίο Royden, Real Analysis (3rd Edition),1988 , μπορείτε να το βρείτε εδώ: http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/au ... dition.pdf , βρίσκεται στην 64 σελίδα βιβλίου [77 σελίδα όπως φαίνεται στο pdf] και είναι η άσκηση 9.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων !

#2

Επειδή η άσκηση είναι πιθανότατα μέρος κάποιου μαθήματος που παρακολουθείς, καλό είναι
να την λύσεις μόνος σου. Θα σε βοηθήσουμε όσο θέλεις, αλλά δείξε μας πρώτα τι έκανες.

Ως μικρή υπόδειξη δίνω:

Το μέτρο Lebesgue έχει (για προφανείς λόγους) την ιδιότητα $\lambda ( [a,\, b]+y) = \lambda ([a,\,b])$ για κάθε $a,b,y \in \mathbb R$ .

Akerlof · #3

Αυτό που έχω σκεφτεί είναι το εξής :
"
Ας είναι

τυχόν, $A \subseteq \mathbb{R}$ , [ E^c

:συμπλήρωμα $= \mathbb{R} - E$ ], τότε:

$\lambda^*A = \lambda^*(A−y)=\lambda^*((A−y)∩E)+\lambda^*((A−y)∩E^c) =\lambda^*(((A−y)∩E)+y)+\lambda^*(((A−y)∩E^c)+y) = \lambda^*(A∩(E+y))+ \lambda^*(A∩(E^c+y))=\lambda^*(A ∩ (E + y)) +\lambda^*(A ∩ (E + y)^c)$
.
έτσι το E + y

μετρητό κατά Lebesgue

"

Όσο για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ , είναι αυτονόητο ότι ισχύει ;, πώς θα το αποδείξω; , εγώ γνωρίζω ότι ισχύει : $\lambda^*(E + Y)= \lambda^*(E)$ , όπου $\lambda^*$ : εξωτερικό μέτρο Lebesgue

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Akerlof έγραψε:Αυτό που έχω σκεφτεί είναι το εξής :
"
Ας είναι τυχόν, $A \subseteq \mathbb{R}$ , [ :συμπλήρωμα $= \mathbb{R} - E$ ], τότε:

$\lambda^*A = \lambda^*(A−y)=\lambda^*((A−y)∩E)+\lambda^*((A−y)∩E^c) =\lambda^*(((A−y)∩E)+y)+\lambda^*(((A−y)∩E^c)+y) = \lambda^*(A∩(E+y))+ \lambda^*(A∩(E^c+y))=\lambda^*(A ∩ (E + y)) +\lambda^*(A ∩ (E + y)^c)$
.
έτσι το μετρητό κατά "

Όσο για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ , είναι αυτονόητο ότι ισχύει ;, πώς θα το αποδείξω; , εγώ γνωρίζω ότι ισχύει : $\lambda^*(E + Y)= \lambda^*(E)$ , όπου $\lambda^*$ : εξωτερικό μέτρο

Στα παραπάνω βρίσκονται οι αποδείξεις που θέλεις.Απλά για το δεύτερο χρειάζεται να γράψεις μια γραμμή ακόμα .

Akerlof · #5

Για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ , αν πω ότι :
" Εφόσον από υπόθεση $E\subseteq \mathbb{R}$ ,(όπου $E\neq {\O}$ ) είναι μετρητό κατά Lebesgue

και $Y \in \mathbb{R}$ και $E + Y : = \{ X + Y : X \in E \}$ είναι η << μεταφορά του

κατά

>> τότε $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ [(Αναλλοίωτο ως προς τις μεταφορές) - Ιδιότητες μέτρου] " , είμαι καλυμμένος ή χρειάζεται και κάτι άλλο ;

#6

Akerlof έγραψε:Για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ , αν πω ότι :
" Εφόσον από υπόθεση $E\subseteq \mathbb{R}$ ,(όπου $E\neq {\O}$ ) είναι μετρητό κατά και $Y \in \mathbb{R}$ και $E + Y : = \{ X + Y : X \in E \}$ είναι η << μεταφορά του κατά >> τότε $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ [(Αναλλοίωτο ως προς τις μεταφορές) - Ιδιότητες μέτρου] " , είμαι καλυμμένος ή χρειάζεται και κάτι άλλο ;

Όχι δεν είσαι καλυμμένος. Αυτό που έκανες είναι απλά αναδιατύπωση με λόγια του αποδεικτέου.

Ίσως ένας τρόπος να δεις γιατί δεν είσαι καλυμμένος είναι να πάρεις άλλο μέτρο, όχι το Lebesgue, και θα δεις ότι το μέτρο του μεταφερομένου συνόλου δεν είναι κατ' ανάγκη ίσο με το μέτρο του πριν την μεταφορά. Π.χ. ένα τέτοιο μέτρο στο δυναμοσύνολο του $\mathbb R$ είναι το $\mu (E) =1$ αν το 2016

ανήκει το

και $\mu (E) =0$ αλλιώς.

Η αρχή της μεταφοράς είναι μία από τις καλές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue: Θέλει απόδειξη.

Antonis Loutraris · #7

Για τυχόν $A\subseteq\mathbb{R}$ αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι

$\lambda^{*}(A)=\lambda^{*}\left(A\cap(E+y)\right)+\lambda^{*}\left(A\cap(E+y)^{c}\right) (1)$

και αυτό που έχουμε είναι ότι για κάθε $A\subseteq\mathbb{R}$ :

$\lambda^{*}(A)=\lambda^{*}\left(A\cap E\right)+\lambda^{*}\left(A\cap E^{c}\right) (2)$

Mήπως να βάλουμε στην (2) ''κατάλληλο'' Α και με δεδομένο το αναλλοίωτο του $\lambda^{*}$ στις μεταθέσεις να βγεί αμέσως η (1)

$^{*}$ Μόλις είδα οτι στο επιχείρημα παραπάνω υπάρχει η λύση για την μετρησιμότητα του E+y.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Akerlof έγραψε:Αυτό που έχω σκεφτεί είναι το εξής :
"
Ας είναι τυχόν, $A \subseteq \mathbb{R}$ , [ :συμπλήρωμα $= \mathbb{R} - E$ ], τότε:

$\lambda^*A = \lambda^*(A−y)=\lambda^*((A−y)∩E)+\lambda^*((A−y)∩E^c) =\lambda^*(((A−y)∩E)+y)+\lambda^*(((A−y)∩E^c)+y) = \lambda^*(A∩(E+y))+ \lambda^*(A∩(E^c+y))=\lambda^*(A ∩ (E + y)) +\lambda^*(A ∩ (E + y)^c)$
.
έτσι το μετρητό κατά "

Όσο για το $\lambda(E + Y)= \lambda(E)$ , είναι αυτονόητο ότι ισχύει ;, πώς θα το αποδείξω; , εγώ γνωρίζω ότι ισχύει : $\lambda^*(E + Y)= \lambda^*(E)$ , όπου $\lambda^*$ : εξωτερικό μέτρο
Στα παραπάνω βρίσκονται οι αποδείξεις που θέλεις.Απλά για το δεύτερο χρειάζεται να γράψεις μια γραμμή ακόμα .

Για να κλείνει το θέμα.
E+y,E

μετρήσιμα και $\lambda ^{*}(E+y)=\lambda ^{*}(E)$

Αρα $\lambda (E+y)=\lambda (E)$

Άσκηση μέτρο Lebesgue

Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Re: Άσκηση μέτρο Lebesgue

Μέλη σε σύνδεση