Σειρούλα

Tolaso J Kos · #1

Στο θέμα εδώ είχε δοθεί ο υπολογισμός της σειράς
$\mathcal{S} = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^2+n-1}}$ Μιας και η απάντηση αποσύρθηκε , αφού δεν απαντούσε στο αρχικό ερώτημα , θέτω ως ανεξάρτητο ερώτημα τον υπολογισμό της σειράς η οποία είναι ενδιαφέρουσα.

#2

Θα υπολογισθεί η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}$ :

$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}&=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& =\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& =\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Bigg(\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)-\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\Bigg) \\\noalign{\vspace{0.2cm}}& =\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Bigg(-\gamma+\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)+\gamma-\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\Bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& =\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Big(\psi\big(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)-\psi\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)\Big) \\\noalign{\vspace{0.2cm}}& =\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Big(\psi\big(1-\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)-\psi\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)\Big) \\\noalign{\vspace{0.2cm}}&\stackrel{(*)}{=}\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\,\pi\cot\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,\pi\big) \\\noalign{\vspace{0.2cm}}&=\frac{\pi\,x^2\sqrt{5}}{5}\,\tan\big(\tfrac{\pi\sqrt{5}}{2}\big) \end{aligned}$

Άρα

$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}&=x^2+\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}=x^2+\frac{\pi\,x^2\sqrt{5}}{5}\,\tan\big(\tfrac{\pi\sqrt{5}}{2}\big) \end{aligned}$

(*)

ανακλαστικός τύπος για την $\psi$ .

Υ.Γ. Επειδή η σειρά $\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}$ συγκλίνει, έπεται ότι και το γινόμενο $\mathop{\prod}\limits_{n=1}^{\infty}\big(1+\frac{x^2}{n^2+n-1}\big)$ συγκλίνει.

Tolaso J Kos · #3

Γενικότερα για $a>-\frac{1}{4}$ ισχύει:
$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2+n-a} = \frac{2 \pi \tan \left ( \frac{\pi \sqrt{4a+1}}{2} \right )}{\sqrt{4a+1}}}$ η οποία είναι μία απλή εφαρμογή του contour integration.

Επίσης, σε πλήρη αντιστοιχία για $a>\frac{1}{4}$ ισχύει
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2-n+a} = \frac{\pi}{\sqrt{4a-1}} \frac{e^{\pi \sqrt{4a-1}}-1}{e^{\pi \sqrt{4a-1}}+1}}$ το οποίο το έχουμε δει παλιά.

Σειρούλα

Σειρούλα

Re: Σειρούλα

Re: Σειρούλα

Μέλη σε σύνδεση