Ομοιόμορφη συνέχεια

M.S.Vovos · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle e^{f(x)}+f(x)=x}$ . Να εξετάσετε αν η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle e^{f(x)}+f(x)=x}$ . Να εξετάσετε αν η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά.

Η

είναι παραγωγίσημη(θέμα άλλου φακέλου)

Παραγωγίζοντας $f'(x)=\dfrac{1}{1+e^{f(x)}}\leq 1$

ΘΜΤ $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$

ομοιόμορφα συνεχής.

#3

M.S.Vovos έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle e^{f(x)}+f(x)=x}$ . Να εξετάσετε αν η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά.

...και λίγο σχολικά....

Αν $g(x)={{e}^{x}}+x,\,\,x\in R$ τότε η ισότητα γράφεται g(f(x))=x

και αφού η

είναι γνήσια αύξουσα επειδή ${g}'(x)={{e}^{x}}+1>0\,\,x\in R$

με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}})\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα και επομένως για

$x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\Rightarrow {{e}^{f(x)}}<{{e}^{f(y)}}\Rightarrow x-f(x)<y-f(y)\Rightarrow$

$f(y)-f(x)<y-x\Rightarrow |f(y)-f(x)|<|y-x|$ και για

$x>y\Rightarrow f(x)>f(y)\Rightarrow {{e}^{f(x)}}>{{e}^{f(y)}}\Rightarrow x-f(x)>y-f(y)\Rightarrow$

$f(y)-f(x)>y-x\Rightarrow -|f(y)-f(x)|>-|y-x|\Rightarrow |f(y)-f(x)|<|y-x|$

οπότε για κάθε $x,y\in R$ ισχύει $|f(y)-f(x)|\le |y-x|$

που σημαίνει ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ομοιόμορφη συνέχεια

Ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση