Μια η άπειρες ρίζες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $q:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ περιοδική με περίοδο

Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση

y''(t)+q(t)y(t)=0

(1)

Αν η (1) δεν έχει μη μηδενική λύση με άπειρες ρίζες

τότε δεν έχει μη μηδενική λύση με περισσότερες από μία ρίζες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Υπόδειξη.
1)Αν y(t)

λύση ,τότε και η y(t+nT)

λύση με $n\in \mathbb{N}$
2)Ποιο είναι βασικό εργαλείο στις γραμμικές δεύτερης τάξης;

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Θὰ χρησιμοποιήσουμε τὸ κἀτωθι Λῆμμα: (Διάσημη Ἄσκηση)

Λῆμμα. Ἄν $\varphi, \psi$ γραμμικῶς ἀνεξάρτητες λύσεις τῆς , τότε μεταξὺ δύο διαδοχικῶν ριζῶν τῆς $\varphi$ , ὑπάρχει μοναδικὴ ρίζα τῆς $\psi$ .

Ἀπόδειξη τοῦ Λήμματος. Μεταξὺ δύο διαδοχικῶν ριζῶν $\tau_1,\tau_2$ τῆς $\varphi$ , ἡ $\varphi$ διατηρεῖ πρόσημο καὶ συνεπῶς
$\displaystyle{ \varphi'(\tau_1)\varphi'(\tau_2)<0. }$
Ἐπίσης, ἡ βρονσκιανὴ w(t)

τῶν $\varphi, \psi$ διατηρεῖ πρόσημο, καὶ ἄρα
$\displaystyle{ 0<w(\tau_1)w(\tau_2)=\psi(\tau_1)\psi(\tau_2)\varphi'(\tau_1)\varphi'(\tau_2), }$
ὁπότε
$\displaystyle{ \psi(\tau_1)\psi(\tau_2)<0. }$
Συνεπῶς, ἡ $\psi$ ἔχει ρίζα στὸ $(\tau_1,\tau_2)$ . Ἡ μοναδικότης ὀφείλεται στὸ ὅτι οἱ ρίζες $\tau_1,\tau_2$ τῆς $\psi$
εἶναι διαδοχικές.

Ἔστω τώρα y(t)

λύση μὲ δύο τουλάχιστον ρίζες. Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητος, ἔστω y(0)=y(a)=0

, ὄπου

, καὶ ἔστω z(t)

ἄλλη λύση τῆς ἰδίας ἐξισώσεως, γραμμικῶς ἀνεξάρτητη πρὸς τὴν

.

Ὅμως, διὰ κάθε $k\in\mathbb Z$ , ἡ y(t+kT)

εἶναι ἐπίσης λύση τῆς ἰδίας ἐξισώσεως. Ὑποχρεωτικῶς θὰ ἰσχύει τουλάχιστον ἕνα ἐκ τῶν κάτωθι δύο:

α. Οἱ z(t), y(t+kT)

εἶναι γραμμικῶς ἀνεξάρτητες γιὰ ἄπειρα τὸ πλῆθος

.
β. Οἱ

εἶναι γραμμικῶς ἐξαρτημένες γιὰ ἄπειρα τὸ πλῆθος

.

Ἂν ἰσχύει τὸ α. τότε ἡ

, χάριν τοῦ Λήμματος, θὰ ἔχει ρίζες σὲ ἄπειρα τὸ πλῆθος διαστήματα τῆς μορφῆς (kT,kT+a)

, καὶ συνεπῶς θὰ ἔχει ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες, καὶ ἐφαρμόζοντας ἐκ νέου τὸ Λῆμμα, καὶ ἡ y(t)

θὰ ἔχει ἐπίσης ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες.

Ἂν ἰσχύει τὸ β. τότε ἡ

θὰ ἔχει ρίζες σὲ ἄπειρες τῆς μορφῆς kT,kT+a

, καὶ συνεπῶς, καὶ ἡ y(t)

θὰ ἔχει ἄπειρες τὸ πλῆθος ρίζες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πολύ ωραία.
Δίνω μια λύση που είναι σχεδόν ίδια με του Γιώργου αλλιώς διατυπωμένη.

Εστω

λύση με πεπερασμένο πλήθος ριζών.

Θα δείξουμε ότι έχει το πολύ μία.

Υποθέτουμε ότι η μικρότερη είναι το

Παίρνουμε $k\in \mathbb{N}$ ώστε το

να είναι μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη ρίζα.

Η h(t)=y(t+kT)

είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης και δεν έχει ρίζα στο $[0,\infty )$

Παίρνουμε την W(t)=y'(t)h(t)-y(t)h'(t)

Είναι

(λόγω της διαφορικής εξίσωσης)

Αρα y'(t)h(t)-y(t)h'(t)=c

Επειδή η

δεν μηδενίζεται στο $[0,\infty )$ έχουμε

$\dfrac{y'(t)h(t)-y(t)h'(t)}{h^{2}(t)}=\dfrac{c}{h^{2}(t)}$

$(\dfrac{y(t)}{h(t)})'=\dfrac{c}{h^{2}(t)}$

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε

$y(t)=h(t)\int_{0}^{t}\dfrac{c}{h^{2}(t)}dt$

Από την τελευταία επειδή η

έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών είναι $c\neq 0$

Αρα έχει μοναδική ρίζα το

.

Μια η άπειρες ρίζες

Μια η άπειρες ρίζες

Re: Μια η άπειρες ρίζες

Re: Μια η άπειρες ρίζες

Re: Μια η άπειρες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση