Αναδρομική ακολουθία (16)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή αυτό.
viewtopic.php?f=9&t=60011

Αν $a_{0}=a> 0$

και για

$n\in \mathbb{N}$

$a_{n+1}=2a_{n}+\frac{1}{n+1}$

να βρεθεί τύπος για το $a_{n}$

#2

Ισχύουν $\begin{aligned} \alpha_{\nu}&=2\,\alpha_{\nu-1}+\frac{2^0}{\nu}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2\,\alpha_{\nu-1}&=2^2\,\alpha_{\nu-2}+\frac{2^1}{\nu-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^2\,\alpha_{\nu-2}&=2^3\,\alpha_{\nu-3}+\frac{2^2}{\nu-2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \ldots\ldots&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^{\nu-2}\,\alpha_2&=2^{\nu-1}\,\alpha_1+\frac{2^{\nu-2}}{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2^{\nu-1}\,\alpha_1&=2^{\nu}\,\alpha_0+\frac{2^{\nu-1}}{1}\,. \end{aligned}$
Προσθέτοντας, κατά μέλη, τις παραπάνω $\nu$ ισότητες, προκύπτει $\displaystyle\alpha_{\nu}&=2^{\nu}a+\mathop{\sum}\limits_{\kappa=0}^{\nu-1}\frac{2^{\kappa}}{\nu-\kappa}\,,\quad\nu\geqslant1\,.$

Σημείωση: Το άθροισμα $\sum_{\kappa=0}^{\nu-1}\frac{2^{\kappa}}{\nu-\kappa}$ μάλλον δεν γράφεται απλούστερα.

Αναδρομική ακολουθία (16)

Αναδρομική ακολουθία (16)

Re: Αναδρομική ακολουθία (16)

Μέλη σε σύνδεση