Σειρά με ζήτα

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\zeta$ τη συνάρτηση ζήτα του Riemann. Υπολογίσατε το άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left( \zeta(n) - 1 \right) \cos \left( \frac{n \pi}{3} \right)}{n}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 25, 2017 10:16 pm
Ας δηλώσουμε με $\zeta$ τη συνάρτηση ζήτα του Riemann. Υπολογίσατε το άθροισμα: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left( \zeta(n) - 1 \right) \cos \left( \frac{n \pi}{3} \right)}{n}}$

Από εδώ http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html (σχέση 124) γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{{\left( { - x} \right)}^n}\zeta \left( n \right)}}{n}} = x \cdot \gamma + \log \left( {x!} \right)$

οπότε $\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{x^n} \cdot \zeta \left( n \right)}}{n}} = - x \cdot \gamma + \log \left( {\left( { - x} \right)!} \right) = - x \cdot \gamma + \log \left( {\Gamma \left( {1 - x} \right)} \right)$ . Επίσης $\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{x^n}}}{n}} = - x - \log \left( {1 - x} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{x^n} \cdot \left( {\zeta \left( n \right) - 1} \right)}}{n}} = x \cdot \left( {1 - \gamma } \right) + \log \left( {\Gamma \left( {1 - x} \right)} \right) + \log \left( {1 - x} \right) = x \cdot \left( {1 - \gamma } \right) +$

$\displaystyle + \log \left( {\left( {1 - x} \right)\Gamma \left( {1 - x} \right)} \right) \Rightarrow \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{x^n} \cdot \left( {\zeta \left( n \right) - 1} \right)}}{n}} = x \cdot \left( {1 - \gamma } \right) + \log \left( {\Gamma \left( {2 - x} \right)} \right)$

Τότε $\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\zeta \left( n \right) - 1}}{n}\cos \frac{{n\pi }}{3}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\zeta \left( n \right) - 1}}{n} \cdot \frac{{{e^{i \cdot n \cdot \pi /3}} + {e^{ - i \cdot n \cdot \pi /3}}}}{2}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( {\zeta \left( n \right) - 1} \right){e^{i \cdot n \cdot \pi /3}}}}{n}} +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( {\zeta \left( n \right) - 1} \right) \cdot {e^{ - i \cdot n \cdot \pi /3}}}}{n}} = \frac{1}{2}\left( {{e^{i \cdot \pi /3}} \cdot \left( {1 - \gamma } \right) + \log \left( {\Gamma \left( {2 - {e^{i \cdot \pi /3}}} \right)} \right)} \right) +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\left( {{e^{ - i \cdot \pi /3}} \cdot \left( {1 - \gamma } \right) + \log \left( {\Gamma \left( {2 - {e^{ - i \cdot \pi /3}}} \right)} \right)} \right) = \left( {1 - \gamma } \right)\frac{{{e^{i \cdot \pi /3}} + {e^{ - i \cdot \pi /3}}}}{2} +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\log \left( {\Gamma \left( {2 - {e^{i \cdot \pi /3}}} \right)\Gamma \left( {2 - {e^{ - i \cdot \pi /3}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{1}{2}\log \left( {\Gamma \left( {2 - {e^{i \cdot \pi /3}}} \right)\Gamma \left( {2 - {e^{ - i \cdot \pi /3}}} \right)} \right) =$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{1}{2}\log \left( {\Gamma \left( {\frac{3}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{3}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\log \left( {\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\log \left( {\Gamma \left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right)\mathop { = = = = }\limits^{z = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{1}{2}\log \left( {\Gamma \left( z \right)\Gamma \left( {1 - z} \right)} \right) =$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{1}{2}\log \left( {\frac{\pi }{{\sin \left( {\pi z} \right)}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) + \frac{1}{2}\log \left( {\frac{\pi }{{\cos \left( {i \cdot \pi \cdot \sqrt 3 /2} \right)}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right) +$

$\displaystyle + \frac{1}{2}\log \left( {\frac{{2\pi }}{{{e^{\pi \cdot \sqrt 3 /2}} + {e^{ - \pi \cdot \sqrt 3 /2}}}}} \right) \Rightarrow \sum\limits_{n = 2}^\infty {\left( {\frac{{\zeta \left( n \right) - 1}}{n}\cos \frac{{n\pi }}{3}} \right)} = \frac{1}{2}\left( {1 - \gamma + \log \left( {\frac{{2\pi \cdot {e^{\pi \sqrt 3 /2}}}}{{{e^{\pi \sqrt 3 }} + 1}}} \right)} \right)$

Tolaso J Kos · #3

Ωραιότατα. Τώρα που το ξανά βλέπω μπορούμε να υπολογίσουμε και το παραπλήσιο άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( \zeta^*(n) -1 \right )\cos \left ( \frac{n\pi}{3} \right )}{n}}$
όπου $\displaystyle \zeta^*(n) = \left\{\begin{matrix} \zeta(n) & , & n>1 \\ \gamma& , & n=1 \end{matrix}\right.$ .

Οι λεπτομέρειες αλλάζουν.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 2:21 pm
Τώρα που το ξανά βλέπω μπορούμε να υπολογίσουμε και το παραπλήσιο άθροισμα: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( \zeta^*(n) -1 \right )\cos \left ( \frac{n\pi}{3} \right )}{n}}$ όπου $\displaystyle \zeta^*(n) = \left\{\begin{matrix} \zeta(n) & , & n>1 \\ \gamma& , & n=1 \end{matrix}\right.$ .

Άμεση συνέπεια των παραπάνω ..

$\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{\zeta *\left( n \right) - 1}}{n}\cos \frac{{n\pi }}{3}} \right)} = \frac{{\gamma - 1}}{2}\cos \frac{\pi }{3} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\left( {\frac{{\zeta \left( n \right) - 1}}{n}\cos \frac{{n\pi }}{3}} \right)} = \frac{1}{2}\log \left( {\frac{{2\pi \cdot {e^{\pi \sqrt 3 /2}}}}{{{e^{\pi \sqrt 3 }} + 1}}} \right)$

Σειρά με ζήτα

Σειρά με ζήτα

Re: Σειρά με ζήτα

Re: Σειρά με ζήτα

Re: Σειρά με ζήτα

Μέλη σε σύνδεση