Εμβαδόν & επιφανειακό ολοκλήρωμα

#1

Έστωσαν η επιφάνεια

με παραμετρική παράσταση
$\overline{R}:(-3,3)\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c} \frac{r}{\sqrt{9-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{r}{\sqrt{9-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \theta \end{array}}\right)\,,$ και ο στερεός κύλινδρος $K: \big\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x^2+y^2\leqslant81,\, 0\leqslant z\leqslant 2\pi \big\}$ .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας $S=E\cap K$ .
Έστω το διανυσματικό πεδίο $\overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({x+y+z\,,\,xyz\,,\,y^2}\right)\,.$
Να βρεθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\oiint_{S}\big(\nabla\times\overline{F}\,\big)\cdot d\overline{S}$ .

#2

grigkost έγραψε: Τετ Αύγ 29, 2018 12:44 am Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
$\overline{R}:(-3,3)\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c} \frac{r}{\sqrt{9-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{r}{\sqrt{9-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \theta \end{array}}\right)\,,$ και ο στερεός κύλινδρος $K: \big\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x^2+y^2\leqslant81,\, 0\leqslant z\leqslant 2\pi \big\}$ .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας $S=E\cap K$ .

Έστω το διανυσματικό πεδίο $\overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({x+y+z\,,\,xyz\,,\,y^2}\right)\,.$
Να βρεθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\oiint_{S}\big(\nabla\times\overline{F}\,\big)\cdot d\overline{S}$ .

Γρηγόρη καλημέρα από Γρεβενά..., αν και έχω χρόνια να ασχοληθώ με τέτοια θέματα, η άσκηση αυτή
με προκάλεσε να κάνω κάτι. Πολλές φορές μιλάμε για επιφάνειες στο χώρο γνωρίζοντας μόνο τις εξισώσεις
αυτών. Καλύτερα είναι όμως και να τις βλέπουμε και να τις παρατηρούμε από διάφορες οπτικές γωνίες. Έτσι
εκθέτω τα παρακάτω για το πρώτο ερώτημα.

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται το μέρος της επιφάνειας αυτής $\displaystyle{S}$ που περιέχεται μέσα και επί στο δοθέντα κύλινδρο.

: Επιφάνεια 1.png (47.96 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

Παρατηρούμε ότι αυτή η επιφάνεια τέμνει τον κύλινδρο σε δύο κυλινδρικές έλικες
με βήμα ίσο με τη μονάδα.

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$\displaystyle{S=\underset{S_1}{\iint}{\sqrt{EG-F^2}drd{\theta}}}} \ \ (1)}$

όπου οι ποσότητες $\displaystyle{E,F,G}$ είναι τα λεγόμενα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ και $\displaystyle{S_1}$ ο τόπος
ο οποίος είναι ένα ορθογώνιο με μήκη $\displaystyle{r_o}$ και $\displaystyle{2\pi}$ και ο οποίος απεικονίζεται μέσω της $\displaystyle{\bar{R}(r,\theta)}}$ στην επιφάνεια
που φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα.
Υπολογισμός του μεγέθους $\displaystyle{r_o}$
Επειδή θέλουμε η συνάρτηση $\displaystyle{\bar{R}}$ να δίνει σημεία εντός του κυλίνδρου θα πρέπει να συμβαίνει:

$\displaystyle{\frac{r^2}{9-r^2}cos^2\theta+\frac{r^2}{9-r^2}sin^2\theta=81}$

Από την εξίσωση αυτή προκύπτει η τιμή $\displaystyle{r_o=\frac{27}{\sqrt{82} }\ \ (2)}$

Τα θεμελιώδη ποσά $\displaystyle{E,G,F}$ επίσης δίνονται από τις σχέσεις:

$\displaystyle{E=(\frac{\partial x}{\partial r})^2+(\frac{\partial y}{\partial r})^2+(\frac{\partial z}{\partial r})^2}$

$\displaystyle{G=(\frac{\partial x}{\partial \theta})^2+(\frac{\partial y}{\partial \theta})^2+(\frac{\partial z}{\partial \theta})^2}$

$\displaystyle{F=\frac{\partial x}{\partial r}\cdot\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\cdot\frac{\partial y}{\partial \theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\cdot\frac{\partial z}{\partial \theta}}$

όπου $\displaystyle{x,y,z}$ οι συντεταγμένες της εξίσωσης της επιφάνειας $\displaystyle{E}$ οι οποίες δίνονται από τη μορφή της $\displaystyle{\bar{R}(r,\theta)}}$ της εκφώνησης.

Άρα θα είναι:

$\displaystyle{E=\frac{81}{(9-r^2)^3}, \ \ G=\frac{9}{9-r^2}, \ \ F=0 \ \ (3)}$

Έτσι από τις (2) ο τύπος (1) γίνεται:

$\displaystyle{S=\underset{S_1}{\iint}{\sqrt{EG-F^2}drd{\theta}}}}=\underset{S_1}{\iint}\frac{27}{(9-r^2)^2}drd{\theta}}}}=\int_{0}^{2\pi}\theta d \theta \int_{-r_o}^{r_o}\frac{27}{(9-r^2)^2}dr }$

Άρα:

$\displaystyle{S=54\pi \int_{-r_o}^{r_o}\frac{1}{(9-r^2)^2}dr \ \ (4)}$

Από τη σχέση (4) μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και μετά από πράξεις
και σύμφωνα με την τιμή της σχέσης (2) προκύπτει τελικά ότι:

$\displaystyle{S\approx 530.25}$ τ.μ.

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα με περισσότερα στοιχεία για την επιφάνεια αυτή...

Εμβαδά 2.ggb: (12.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Εμβαδόν & επιφανειακό ολοκλήρωμα

Εμβαδόν & επιφανειακό ολοκλήρωμα

Re: Εμβαδόν & επιφανειακό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση