Ανισότητα τύπου Hardy

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $A=\left \{ (x,y):y=ax,x\geq 0 \right \}$ όπου $a\in \mathbb{R}$
(μία ημιευθεία με αρχή το (0,0)

)

Να δειχθεί ότι υπάρχει απόλυτη σταθερά C> 0

ώστε

Για κάθε $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση με συνεχείς μερικές παραγώγους

και $\overline{\left \{ (x,y):f(x,y)\neq 0 \right \}}\subseteq \mathbb{R}^{2}-A$
(η παύλα σημαίνει κλειστότητα)

ισχύει

$\int _{\mathbb{R}^{2}}\dfrac{f^{2}(x,y)}{x^{2}+y^{2}}dxdy\leq C\int _{\mathbb{R}^{2}}\left | \triangledown f(x,y) \right |^{2}dxdy$

όπου
$\triangledown f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y))$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Μάλλον Poincaré type.

Ὑποδείξεις. Κατ᾽ ἀρχάς, ἡ συνθήκη
$\displaystyle{ \overline{(x,y): f(x,y)\ne 0} \subset \mathbb R^2\setminus A, }$
ἔχει ὡς συνέπεια ὅτι ἡ

μηδενίζεται σὲ κάποια περιοχὴ τῆς ἡμιευθείας $\{(x,ax): x>0\}$ .

Χωρὶς βλάβη ὑποθέτομε ὅτι a=0

. Ὁπότε
$\displaystyle{ f(r\cos\vartheta,r\sin\vartheta)=\int_0^\vartheta \frac{\partial}{\partial\varphi}f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\,d\varphi =\int_0^\vartheta r\big(-f_x\sin\varphi+f_y\cos\varphi\big)\,d\varphi }$
καὶ ἄρα
$\displaystyle{ |f(r\cos\vartheta,r\sin\vartheta)|\le \int_0^\vartheta r\sqrt{f_x^2 +f_y^2}\,d\varphi\le r\sqrt{\vartheta}\left(\int_0^\vartheta (f_x^2 +f_y^2)\,d\varphi\right)^{1/2} \le r\sqrt{2\pi}\left(\int_0^{2\pi} (f_x^2 +f_y^2)\,d\varphi\right)^{1/2}. }$
Κατὰ συνέπειαν,
$\displaystyle{ \int_{\mathbb R^2}\frac{f^2(r\cos\vartheta,r\sin\vartheta)}{r^2}\,r\,dr \,d\vartheta\le 2\pi\int_{\mathbb R^2}\left(\int_0^{2\pi} (f_x^2 +f_y^2)\,d\varphi\right) r\,dr\,d\vartheta=(2\pi)^2 \int_{\mathbb R^2} (f_x^2 +f_y^2)\,r\,dr\,d\vartheta. }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πολύ ωραία Γιώργο.

Υπάρχει και γενίκευση η οποία λέει .

Αν p(x)

ομογενές πολυώνυμο δευτέρου βαθμού στον $\mathbb{R}^{n}$

και η $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ κλάσης $C^{1}$

με support σε μία συνεκτική συνιστώσα του $\mathbb{R}^{n}-\left \{ x:p(x)=0 \right \}$

τότε $\displaystyle{\int _{\mathbb{R}^{n}}\dfrac{f^{2}(x,y)}{p(x)}dx\leq C\int _{\mathbb{R}^{n}}\left | \triangledown f(x) \right |^{2}dx}$

εκτός αν $p(x)=x_{i}^{2}+x_{j}^{2},1\leq i< j\leq n$

πάει και παρακάτω αλλά πολλά έγραψα.

Ανισότητα τύπου Hardy

Ανισότητα τύπου Hardy

Re: Ανισότητα τύπου Hardy

Re: Ανισότητα τύπου Hardy

Re: Ανισότητα τύπου Hardy

Μέλη σε σύνδεση