Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Καλή χρονιά σε όλους.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle {\int_{0}^{1} \frac{sin(logx)}{logx}dx}$

#2

Ίσως το έχουμε ξαναδεί, αλλά...

$\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\sin(\log{x})}{\log{x}}\,dx&\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,-\log{x}}\\ {dx\,=\,-{\rm{e}}^{-t}\,dt} \\ \end{subarray}}\,-\int_{+\infty}^{0}\frac{\sin(-t)}{-t}\,{\rm{e}}^{-t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm{e}}^{-t}}{t}\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\rm{e}}^{-t}}{t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}\,dt\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\sum_{n=0}^{+\infty}\bigg(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{2n}{\rm{e}}^{-t}\,dt\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,(2n)!\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\arctan 1\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{\pi}{4}\,.\end{aligned}$

#3

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(t)=\int_{0}^{1}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx.}$

Είναι

$\displaystyle{f'(t)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\sin (t\ln x)}{\ln x}dx=\int_{0}^{1}\cos (t\ln x)dx\stackrel{t\ln x=u}{=}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{t}\int_{-\infty}^{0}\cos u e^{\frac{u}{t}}du.}$

Το ολοκλήρωμα αυτό υπολογίζεται με παραγοντική ολοκλήρωση και προκύπτει $\displaystyle{\frac{t}{t^2+1}.}$

Δηλαδή είναι

$\displaystyle{f'(t)=\frac{1}{t^2+1}.}$ Επειδή είναι και $\displaystyle{f(0)=0}$ , βρίσκουμε τελικά $\displaystyle{f(t)=\arctan t.}$

Το αρχικό ολοκλήρωμα είναι το $\displaystyle{f(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.}$

mick7 · #4

Πολύ όμορφα...

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση