μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

#2

mathxl έγραψε: $I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx$

$\displaystyle{I=\cdots=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+\sqrt{2}x+1}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\Big(\ln\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}\Big)\Big|_{-\infty}^{+\infty}=0$ .

Το γουστόζικο είναι ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx=-\int_{1}^{+\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx}$ .

mathxl · #3

Τάσο ευχαριστώ για την απάντηση (πρέπει όταν την έλυνες να ήσουν νηστικός -λείπουν χ στους αριθμητές)
Μια άλλη αντιμετώπιση
$\displaystyle{\begin{array}{l} \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}}} dx = - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}} dx = - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 2}}} dx\mathop = \limits_{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = dy}^{x + \frac{1}{x} = y} \\ - \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{dy}}{{{y^2} - 2}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\frac{1}{{y + \sqrt 2 }} - \frac{1}{{y - \sqrt 2 }}} \right)dy} = \\ = \displaysyle\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \ln \left| {\frac{{y + \sqrt 2 }}{{y - \sqrt 2 }}} \right| - \mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } \ln \left| {\frac{{y + \sqrt 2 }}{{y - \sqrt 2 }}} \right| = \ln 1 - \ln 1 = 0 \\ \end{array}}$

mathxl · #4

Και κάτι που είδα και με άρεσε
Ας είναι
$I =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx$
Αλλάζουμε μεταβλητή y=1/x και έχουμε
$I =\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2}}{1+y^{4}}dy$
άρα
$0 = I-I =\int_{0}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx$
οπότε
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx = 0$

#5

mathxl έγραψε:Και κάτι που είδα και με άρεσε
Ας είναι
$I =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{4}}dx$
Αλλάζουμε μεταβλητή y=1/x και έχουμε
$I =\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2}}{1+y^{4}}dy$
άρα
$0 = I-I =\int_{0}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx$
οπότε
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}dx = 0$

Βασίλη ωραίος τρόπος, αλλά είναι απαραίτητο να δείξει κανείς ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, για να αποφύγει την κατάσταση $\infty-\infty$ .

mathxl · #6

Αυτό μου διέφυγε

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Re: μεταμεσονύκτιο ολοκλήρωμα 26

Μέλη σε σύνδεση