Όριο σειράς

Tolaso J Kos · #1

Το θέμα εδώ μου θύμισε το παρακάτω πρόβλημα...

Έστω $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ μονότονη ώστε το ολοκλήρωμα $\int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x$ να συγκλίνει και f(x)>0

για κάθε $x \in [0, +\infty)$ και $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0^+} h\sum_{n=0}^\infty f(nh) =\int_{0}^\infty f(x) \; \mathrm{d}x}$

Μάρκος Βασίλης · #2

Πολύ κομψό και γεωμετρικό πρόβλημα. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η

είναι φθίνουσα, αφού αν ήταν αύξουσα θα είχαμε $f(x)\geq f(0)>0$ για κάθε $x\geq0$ , οπότε και $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\geq f(0)>0$ το οποίο αντιφάσκει με τις υποθέσεις μας. Επομένως, η

είναι φθίνουσα. Τώρα, αν πάρουμε τα άνω και κάτω αθροίσματα Darboux στο διάστημα [0,kh]

για κάποιον φυσικό αριθμό

και κάποιο h>0

, έχουμε την ανισότητα (η

είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα [0,a]

αφού το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει):
$\displaystyle\sum_{n=0}^{k-1}h\sup\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}h\inf\{f(x)\mid x\in[nh,(n+1)h]\},$
η οποία, δεδομένου ότι η

είναι φθίνουσα, γράφεται;
$\displaystyle h\sum_{n=0}^{k-1}f(nh)\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k-1}hf((n+1)h),$
όπου, αν στο δεξί μέλος αλλάξουμε μετρητή και προσθαφαιρέσουμε τον μηδενικό όρο, έχουμε:
$\displaystyle h\sum_{n=0}^{k-1}f(nh)\geq\int_0^{kh}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{k}hf(nh)-hf(0).$
Παίρνοντας όρια καθώς $k\to+\infty$ , έπεται ότι:
$\displaystyle h\sum_{n=0}^{\infty}kf(nh)\geq\int_0^{\infty}f(x)dx\geq\sum_{n=0}^{\infty}hf(nh)-hf(0).$
Τέλος, αφήνοντας το $h\to0+$ , έπεται το ζητούμενο:
$\displaystyle h\sum_{n=0}^{\infty}kf(nh)\geq\int_0^{\infty}f(x)dx.$

Όριο σειράς

Όριο σειράς

Re: Όριο σειράς

Μέλη σε σύνδεση