Πολλαπλασιαστές Lagrange

[Srautas]

Καλησπέρα, έχουμε μια συνάρτηση
με την συνάρτηση υπό συνθήκη
. Βρίσκω μόνο ένα σημείο, πως θα ξέρω αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο ?

[Mihalis_Lambrou]

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Παρακαλώ γράψε το μήνυμά σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Τους διάβασες άραγε; Δεν είναι της ώρας να εξηγώ γιατί έχουν αυτή την απαίτηση οι κανονισμοί μας.

Για το ερώτημά σου: Η απάντηση σίγουρα βρίσκεται στο βιβλίο που σου έδωσε δωρεάν το κράτος για το μάθημα που παρακολουθείς. Ρίξτε του μια ματιά. Αν δεν βρεις το σχετικό σημείο, πες μας πιο είναι το βιβλίο για να ψάξουμε εμείς ώστε να σε διευκολύνουμε να το εντοπίσεις.

[Srautas]

Ναι τα διάβασα αλλά δεν ήξερα στην αρχή πως να το κάνω. Είμαι στο 2ο έτος και κάνουμε το βιβλίο Απειροστικός λογισμός του Thomas. Αλλά η άσκηση είναι απ τις ασκήσεις που μας στέλνει ο καθηγητής δεν βρίσκεται στο βιβλίο. Απλά ρωτάω για γενικά, σε αυτή την άσκηση βρίσκω μόνο ένα σημείο πως θα ξέρω αν είναι μέγιστο η ελάχιστο ;

[llenny]

Δεν έχω ιδέα πως δουλεύον οι πολλαπλασιαστές Lagrange αλλά αν έχω καταλάβει καλά σου έχουν δώσει ένα σημείο και δεν ξέρεις αν είναι ελάχιστο ή μέγιστο. Ο συλλογισμός μου είναι ο παρακάτω (Ας με διορθώσει κάποιος αν χάνω κάτι). Αν επιλέξουμε x και y που ικανοποιούν τη συνθήκη, δούμε πόσο κάνει το γινόμενο xy και το συγκρίνουμε με το σημείο που έχουμε δε μπορούμε να διαπιστώσουμε αν αυτό που έχουμε είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο;

[grigkost]

Η μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange εντοπίζει τα κρίσιμα σημεία, δηλαδή τα σημεία στα οποία ενδέχεται η συνάρτηση υπό την δεδομένη συνθήκη (ή τις δεδομένες συνθήκες) να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα.
Σε κάποιες περιπτώσεις ο Εσσιανός πίνακας μπορεί να μας "δείξει" αν σε ένα κρίσιμο σημείο έχουμε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο, αλλά όχι πάντοτε. Έτσι πολλές φορές χρειάζεται να κάνουμε επιπλέον διερεύνηση. Δεν υπάρχει για όλες τις περιπτώσεις μια γενική μέθοδος!
Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το γνωστό "σαμάρι" και αν παρατηρήσουμε ότι το επίπεδο είναι παράλληλο στον -άξονα, σχεδόν έχουμε τελειώσει...

[Λάμπρος Κατσάπας]

O Lagrange είναι υπερόπλο για μια τέτοια άσκηση. Λύνεται με γνώσεις γυμνασίου. Απλό τριώνυμο.

[Srautas]

Στη συγκεκριμενη ασκηση πρεπει να κανω τη γραφικη παρασταση για να το βρω δηλαδη ? Επισης ελεγξα οτι μας δινει σαγματικο σημειο αλλα και παλι δεν ξερω αν ειναι μεγιστο η ελαχιστο ?

[grigkost]

Στη συγκεκριμενη ασκηση πρεπει να κανω τη γραφικη παρασταση για να το βρω δηλαδη ? Επισης ελεγξα οτι μας δινει σαγματικο σημειο αλλα και παλι δεν ξερω αν ειναι μεγιστο η ελαχιστο ?

Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε γραφική παράσταση -παρά ίσως μόνο προσεγγιστικά- δηλαδή, αρκεί να κοιτάξουμε πώς τέμνει το επίπεδο το "σαμάρι"; Ποια είναι η τομή του επιπέδου με το "σαμάρι"; Αν απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα, θα έχεις απαντήσει ουσιαστικά και στο αν πρόκειται για μέγιστο ή ελάχιστο.



Υ.Γ. Έκανες τον "κόπο" να μάθεις να γράφεις τους τύπους σε LaTeX. Το να τονίζεις τις λέξεις είναι ποιο εύκολο.