Ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για εναλλασσόμενο άθροισμα με διωνυμικό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Ένα σημερινό (φρέσκο) αποτέλεσμα.

Θεωρούμε το άθροισμα
$\displaystyle S _{r,n}= \binom{r}{k}\sum_{j=0}^{r-k}(-1)^j \binom{r-k}{j} \left ( 1-\dfrac{j+k}{r} \right )^n.$
Να δείξετε ότι αν $\dfrac{r}{e^{n/r}}\rightarrow l$ , καθώς $r,n\rightarrow +\infty$ τότε
$S _{r,n}\rightarrow \dfrac{l^k}{k!} e^{-l}.$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

Υπόδειξη: Γράψτε $\displaystyle S _{r,n}= \binom{r}{k}\left ( 1-\dfrac{k}{r} \right )^n \sum_{j=0}^{r-k}(-1)^j \binom{r-k}{j} \left ( 1-\dfrac{j}{r-k} \right )^n.$

Δουλέψτε το $\displaystyle \binom{r-k}{j} \left ( 1-\dfrac{j}{r-k} \right )^n$ εκτιμώντας το $\left ( 1-\dfrac{j}{r-k} \right )^n$

με κλασικές ανισότητες Λυκείου.

Ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για εναλλασσόμενο άθροισμα με διωνυμικό

Ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για εναλλασσόμενο άθροισμα με διωνυμικό

Re: Ασυμπτωτικό αποτέλεσμα για εναλλασσόμενο άθροισμα με διωνυμικό

Μέλη σε σύνδεση