βραδυνό ολοκλήρωμα 66

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το
$\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right)dt} }$

Broly · #2

Έχουμε ότι:

$I=\int_{0}^{\pi/2} 1+sintdt-\int_{0}^{\pi/2}1-sint dt=$

$[t-cost]_{0}^{\pi/2}$ - $[t+cost]_{0}^{\pi/2}=$

$(\pi/2-cos\pi/2)-(0-cos0)-(0+cos\pi/2)+(0+cos0)=\pi/2+2$

Broly · #3

χαχαχα,αυτό να θεωρήσω τώρα ότι είναι σημάδι που λέει ότι πρέπει να
πάω για ύπνο?ή να συνεχίσω απτόηττος?
Πάω να πιω ένα καφεδάκι να στανιάρω λιγάκι και θα επιστρέψω σε λιγάκι δριμύτερος(με την ελένη φυσικά!)

mathxl · #4

Broly έγραψε:χαχαχα,αυτό να θεωρήσω τώρα ότι είναι σημάδι που λέει ότι πρέπει να
πάω για ύπνο?ή να συνεχίσω απτόηττος?
Πάω να πιω ένα καφεδάκι να στανιάρω λιγάκι και θα επιστρέψω σε λιγάκι δριμύτερος(με την ελένη φυσικά!)

Ναι, λίγες ανάσες γιατί αρχίσανε τα μαγικά

Δες μέχρι που το έχω φτάσει για να συνεχίσεις (εάν συγκλίνει)...
$\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right)}}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{t}{2}} \right)dt\mathop = \limits_{dt = - dx}^{t = \frac{\pi }{2} - x} } }$
$\displaystyle{2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \tan \frac{x}{2}dt\mathop = \limits_{dx = 2du}^{\frac{x}{2} = u} } 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \tan udt} }$

mathxl · #5

Στο τελευταίο ολοκλήρωμα εάν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής tanu=k τότε έχουμε ολοκλήρωμα που ισούται με την σταθερά κάταλαν
Άρα έχουμε
$\displaystyle{I = 4\int\limits_0^1 {\frac{{\ln k}}{{1 + {k^2}}}dx = - 4Catalan} }$

Η άσκηση είναι από τον lupu Cezar και είναι αναπάντητη από εκεί που την πήρα

Broly · #6

Συγγνώμη φίλε mathxl,δεν το κοίταξα το ολοκλήρωμα, αλλά τώρα που γύρισα βλέπω ότι το έχεις ήδη
βγάλει το ολοκλήρωμα.Πολύ δύσκολο ολοκλήρωμα.Δεν νομίζω να μπορούσα να το είχα λύσει.
Συγχαρητήρια για την λύση

mathxl · #7

Δεν υπάρχει λόγος να ζητάς συγνώμη. όταν είμαστε κουρασμένοι κάνουμε εύκολα το λάθος. Η ποιότητα του λάθους δείχνει ολοφάνερα ότι ήσουν ζαλισμένος (μπόλικη πνευματική εργασία...μάλλον έλυσες πολλές ασκήσεις χωρίς τα απαραίτητα διαλλείματα).
Το τελευταίο ολοκλήρωμα που έγραψα, θυμάμαι μου είχε μείνει από κάποια δημοσίευση εδώ ή στο μάθλινκσ ότι έχει να κ'άνει με την σταθερά του Μπαρτσελόνα
Περισσότερα για αυτήν την σταθερά εδώ http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

βραδυνό ολοκλήρωμα 66

βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 66

Μέλη σε σύνδεση