Σημείο Διακλαδώσεως

#1

Η άσκηση είναι συνηθισμένη και δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαιτερότητα. Θα φανεί αργότερα ο λόγος για τον οποίο τη βάζω.

Να εξετάσετε (δίνοντας σύντομη εξήγηση) αν το άπειρο είναι σημείο διακλαδώσεως (branch point) της (πλειότιμης) συνάρτησης $f(z) = (z^3+4z)^{1/3}$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

OXI το άπειρο δεν αποτελεί branch point της $f(z)=\sqrt[3]{z^3+4z}$ .

Γενικότερα, αν p(z)

πολυώνυμο βαθμού

καί

διαιρεί το

, τότε η $f(z)=\sqrt[m]{p(z)}$ δεν έχει branch point στο άπειρο.

Λήμμα. Έστω $\Omega$ χωρίον και a,b

βρίσκονται στην ίδια συνεκτική συνιστώσα του $\mathbb C\setminus\Omega$ . Τότε η $h(z)=\log\frac{z-a}{z-b}$ είναι αναλυτική στο $\Omega$ .

Απόδειξη λήμματος. $h'(z)=\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b}$ , και άρα το ολοκλήρωμα $\int_{z_0}^z h'$ είναι καλώς ορισμένο στο $\Omega$ , αφού διά κάθε κλειστή καμπύλη στο $\Omega$ οι δείκτες στροφής της ως προς

και

ισούνται.

Αν $p(z)=a_n(z-z_1)\cdots (z-z_n)$ , και $R>|z_1|,\ldots,|z_n|$ , τότε στο $\{z:|z|>R\}$ ορίζονται ως αναλυτικές οι
$\displaystyle{ h_k(z)=\log\frac{z-z_k}{z-z_1}, \quad k=1,\ldots,n, }$
και χάριν αυτών η
$\displaystyle{ f(z)=a_n^{1/n}(z-z_1)\exp \bigg(\frac{1}{n}\big(h_1(z)+\cdots+h_n(z)\big)\bigg) }$
είναι επίσης αναλυτική στο $\{z:|z|>R\}$ καί
$\displaystyle{ f^n(z)=p(z). }$

#3

Γιώργο, συμφωνούμε ότι το άπειρο δεν είναι branch point της συγκεκριμένης "συνάρτησης".

To wolframalpha εδώ όμως λέει ότι είναι! Και εδώ λέει ότι δεν είναι!

Σημείο Διακλαδώσεως

Σημείο Διακλαδώσεως

Re: Σημείο Διακλαδώσεως

Re: Σημείο Διακλαδώσεως

Μέλη σε σύνδεση