Ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ σταθερὸ σημεῖο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω $\Omega$ ἀνοικτὸ, συνεκτικὸ καὶ φραγμένο ὑποσύνολο τοῦ $\mathbb C$ , $z_0\in\Omega$ , καὶ $f:\Omega\to\Omega$ ὁλόμορφη συνάρτηση, ὥστε

$\displaystyle{ f(z_0)=z_0 \quad \& \quad f'(z_0)=1. }$

Δεἰξατε ὅτι f(z)=z

, διὰ κάθε $z\in\Omega$ .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Τρί Νοέμ 16, 2021 10:18 pm Ἔστω $\Omega$ ἀνοικτὸ, συνεκτικὸ καὶ φραγμένο ὑποσύνολο τοῦ $\mathbb C$ , $z_0\in\Omega$ , καὶ $f:\Omega\to\Omega$ ὁλόμορφη συνάρτηση, ὥστε

$\displaystyle{ f(z_0)=z_0 \quad \& \quad f'(z_0)=1. }$

Δεἰξατε ὅτι , διὰ κάθε $z\in\Omega$ .

Γιώργο, χαιρετίσματα. Χαθήκαμε.

Aπό τις δύο δοθείσες συνθήκες έχουμε $\displaystyle{f(z)=z_0+(z-z_0)+ \sum _{k=2}^{\infty}a_k(z-z_0)^k= z+ a_p(z-z_0)^p +\big {O}(|z-z_0|^{p+1})}$ όπου

ο πιο μικρός δείκτης με $a_p\ne 0$ .

Άρα

$\displaystyle{f^{<2>}(z) = f(f(z))= z+2a_p(z-z_0)^p +\big {O}(|z-z_0|^{p+1})}$ και επαγωγικά για κάθε φυσικό

ισχύει

$\displaystyle{f^{<N>}(z) = f^{<N-1>} (f(z))= z+Na_p(z-z_0)^p +\big {O}(|z-z_0|^{p+1})}$ .

Τώρα, επειδή η

στέλνει το $\Omega$ στο $\Omega$ , συμβαίνει το ίδιο για την $f^{<N>}$ . Επίσης, αφού το $\Omega$ είναι φραγμένο, υπάρχει σταθερά

με

$\displaystyle{|f^{<N>}(z)| \le C}$ για κάθε

και για κάθε $z\in \Omega$ .

Από τον τύπο του Cauchy και για μικρό $\rho >0$ είναι

$\displaystyle{\left |\dfrac {d^p}{dz^p} \left (f^{<N> } (z) \right ) _{z_0} \right |= \left | \dfrac {p!}{2\pi i} \int _{|z-z_0|=\rho} \dfrac {f^{<N> } (z)}{(z-z_0)^{p+1} } dz\right | \le \dfrac {p!C}{\rho ^p} }$

οπότε από τον τύπο για τους συντελεστές Taylor έχουμε

$|Np!a_p|\le \dfrac {p!C}{\rho ^p}$

Παίρνοντας όριο ως προς

έχουμε

. Τελικά από την $\displaystyle{f(z)=z+ \sum _{k=p}^{\infty}a_k(z-z_0)^k}$ έπεται f(z)=z

.

#3

Επεξεργασία: Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος το $\Omega$ δεν είναι απλά συνεκτικό οπότε η πιο κάτω απόδειξη χαλάει. Την αφήνω για τον κόπο που έκανα.

Μπορούμε πρώτα να το αποδείξουμε στον μοναδιαίο δίσκο (με z_0=0

) χρησιμοποιώντας το λήμμα του Schwarz και ακολούθως να το μεταφέρουμε στο $\Omega$ με το Riemann Mapping Theorem:

Έστω $D = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ . Από το Riemann Mapping Theorem υπάρχει (μοναδική) biholomorphic συνάρτηση $g: \Omega \to D$ ώστε g(z_0) = 0

.

Θεωρούμε την $h:D \to D$ με τύπο $h(z) = g(f(g^{-1}(z)))$ . Είναι εύκολο να δούμε ότι h(0) = 0

και

. (Για το τελευταίο χρησιμοποιούμε επίσης το γεγονός ότι αφού η

είναι biholomorphic τότε $g'(z_0) \neq 0$ .)

Από το λήμμα του Schwarz παίρνουμε ότι η

είναι ταυτοτική. Από εδώ τώρα είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι η

είναι ταυτοτική.

Ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ σταθερὸ σημεῖο

Ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ σταθερὸ σημεῖο

Re: Ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ σταθερὸ σημεῖο

Re: Ὁλόμορφη συνάρτηση μὲ σταθερὸ σημεῖο

Μέλη σε σύνδεση