ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

#1

Νά εξετασθεί ώς πρός τήν ομοιόμορφη συνέχεια η συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} x\,\sqrt{x}\,\sin\tfrac{1}{x}\,,& {x}>0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0\,,& x=0 \end{array}}\right.$

Ωmega Man · #2

Καταρχήν $\bf f$ είναι συνεχής στο $\bf [0,+\infty)$ .
Θεωρούμε τις ακολουθίες $\displaystyle{\bf x_{n}=\frac{1}{n}}$ και $\displaystyle{\bf y_{n+1}=\frac{1}{n+1}}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{\bf\lim_{n\rightarrow \infty}(x_{n}-y_{n+1})=0$ . Εύκολα αποδεικνύεται ότι $\displaystyle\bf \lim_{n\rightarrow\infty}(\;\;f(x_{n})-f(y_{n})\;\;) =0$ και άρα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη.

#3

Ωmega Man έγραψε:Καταρχήν $\bf f$ είναι συνεχής στο $\bf [0,+\infty)$ .
Θεωρούμε τις ακολουθίες $\displaystyle{\bf x_{n}=\frac{1}{n}}$ και $\displaystyle{\bf y_{n+1}=\frac{1}{n+1}}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{\bf\lim_{n\rightarrow \infty}(x_{n}-y_{n+1})=0$ . Εύκολα αποδεικνύεται ότι $\displaystyle\bf \lim_{n\rightarrow\infty}(\;\;f(x_{n})-f(y_{n})\;\;) =0$ και άρα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη.

Νομίζω πως για να αποδειχθεί η ομοιόμορφη συνέχεια, η επιλογή των ακολουθιών, των οποίων το όριο της διαφοράς είναι 0, πρέπει να είναι τυχαία. Να τι λέει το σχετικό Θεώρημα:
Έστω

μη κενό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και μια συνάρτηση $f:X\to \mathbb{R}$ . Η

είναι ομοιόμορφα συνεχής αν και μόνον αν για κάθε δύο ακολουθίες του

με $\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}(x_n-y_n)=0$ έπεται $\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}(f(x_n)-f(y_n))=0$
Φιλικά

Ωmega Man · #4

Το παράδειγμα που έδωσα παραπάνω χρησιμοποιείται ως αντιπαράδειγμα για την απόδειξη μη-ομοιόμορφης συνέχειας .
Αφού η $\bf f$ είναι συνεχής στο $\bf [0,1]$ άρα είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό. Επίσης στο $\bf [1,+\infty)$ είναι $\bf Lipschitz$ , άρα είναι ομ. συνεχής σε όλο το $\bf [0,+\infty)$ .

#5

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} x\,\sqrt{x}\,\sin\tfrac{1}{x}\,,& 0<{x}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0\,,& x=0 \end{array}}\right.$ είναι συνεχής στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ καί παραγωγίσιμη στό $\left({0,\,+\infty}\right)$ μέ συνεχή παράγωγο $f^{\prime}(x)=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\,\sin\tfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\cos\tfrac{1}{x}$ .

ΠΡΟΤΑΣΗ: Έστω $f:\,\left[{0,\,+\infty}\right)\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση. Άν η

είναι ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{\alpha,\,+\infty}\right)$ , γιά κάποιο $\alpha>0$ , τότε η

είναι ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

Επομένως αρκεί νά δειχθεί ότι η

είναι καί ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{a,\,+\infty}\right)$ .
Γιά κάθε $x,y\in\left[{a,\,+\infty}\right)$ από τό Θεώρημα Μέσης Τιμής γιά τήν

στό διάστημα $[{x,\,y}]$ , υπάρχει $u\in({x,\,y})$ , τέτοιο ώστε $f^{\prime}({u})=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\quad\Leftrightarrow$
$\left|{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}}\right|=\left|{\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\,\sin\tfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\cos\tfrac{1}{x}}\right|\leq\left|{\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\,\sin\tfrac{1}{x}}\right|+\left|{\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\cos\tfrac{1}{x}}\right|\leq$

$\left|{\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\,\sin\tfrac{1}{x}}\right|+\left|{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right|$ .

Όμως $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left({\left|{\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\,\sin\tfrac{1}{x}}\right|+\left|{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right|}\right)=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\,\dfrac{\sin\tfrac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}\right|+\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right|=$
$\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{3}{2\sqrt{x}}}\right|\,\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{\sin\tfrac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}\right|+\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right|=0\cdot1+0=0$ .
Άρα υπάρχει K>0

τέτοιος ώστε $\left|{\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}}\right|=\left|{f^{\prime}(u)}\right|\leq{K}$ . Επομένως γιά τήν συνάρτηση

ισχύει η συνθήκη τού $\rm{Lipschitz}$ στό $\left[{a,\,+\infty}\right)$ .
Άρα η

είναι ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{a,\,+\infty}\right)$ καί, από τήν παραπάνω Πρόταση, ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{0,\,+\infty}\right).\quad\square$

Ωmega Man · #6

Επειδή παραπάνω δεν έδωσα εξηγήσεις, έκανα χρήση του παρακάτω θεωρημάτος.

$\bf \color{red} \maltese$ Αν $\bf f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\bf [a,b]$ τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό.

και στην συνέχεια αφού στο $\bf [1,+\infty)$ έχει φραγμένη συνεχή πρώτη παράγωγο είναι $\bf Lipschitz$ συνεχής και άρα ομοιόμορφα συνεχής.

#7

Στο προηγούμενο post δεν αντέστρεψα δυο κάσματα στην αντικατάσταση των $\displaystyle{x_{n}}$ και $y_{n}$ που είχα πάρει και έβγαλα το αντίθετο αποτέλεσμα.

Η συνάρτηση είναι πράγματι ομοιόμορφα συνεχής. Η παρακάτω απόδειξη βασίζεται στην ιδέα ότι κοντά στο $\displaystyle{+\infty}$ η συνάρτηση μας είναι οσοδήποτε κοντά στην $\displaystyle{g(x)=\sqrt{x}}$ η οποία είναι συστολική, άρα Lipschitz συνεχής άρα και ομοιόμορφα συνεχής.

Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)-\sqrt{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\Big(x\sin\frac{1}{x}-1\Big)=\lim_{x\to0+}x^{-\frac{3}{2}}(\sin x-x)=\lim_{x\to0+}x^{-\frac{3}{2}}\Big(-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\Big)=0}$ (1)

Έστω $\varepsilon>0$ .

Επιλέγω M>1

με $\displaystyle{x>M\Rightarrow |f(x)-\sqrt{x}|<\frac{\varepsilon}{3}}$ .

Έστω $x,y\in[M,+\infty)$ . Επιλέγω $\displaystyle{0<\delta<\frac{\varepsilon}{3}}$ .

Τότε για $\displaystyle{x,y\in[M,+\infty)}$ με $|x-y|<\delta$ έχουμε

$\displaystyle{|f(x)-f(y)|=|f(x)-\sqrt{x}+\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{y}-f(y)|\leq}$

$\displaystyle{|f(x)-\sqrt{x}|+|\sqrt{x}-\sqrt{y}|+|f(y)-\sqrt{y}|\leq\frac{2\varepsilon}{3}+\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\stackrel{M>1}{\leq}}$

$\displaystyle{\frac{2\varepsilon}{3}+\frac{\delta}{2}\leq\varepsilon}$ .

Κανένας άλλος τρόπος υπολογισμού του ορίου (1);

#8

Για το όριο (1)
Με 2 DLH $\displaystyle{\frac{sinx-x}{x^3}\to -1/6}$ , $\displaystyle{x^{3/2}\to 0}$ με πολλαπλασιασμό...

#9

R BORIS έγραψε:Για το όριο (1)
Με 2 DLH $\displaystyle{\frac{sinx-x}{x^3}\to -1/6}$ , $\displaystyle{x^{3/2}\to 0}$ με πολλαπλασιασμό...

Ωραία!

ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Re: ομοιόμ. συνέχεια συνάρτησης 02

Μέλη σε σύνδεση