Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Πεδγια · #1

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει αυτόν τον τύπο:

$\displaystyle{\frac{\pi^3}{18 \sqrt{3}}=\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 5 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3+1}\right) }$

όπου

σημαίνει πρώτος αριθμός .
Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell

Tolaso J Kos · #2

Η ερώτηση σχετίζεται άμεσα με τις συναρτήσεις $\zeta$ του Burgess. Είναι για παράδειγμα:

$\displaystyle{\prod_{p \equiv a \pmod{q}} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{n \in \left\langle \mathcal{P} \right\rangle} \frac{1}{n^s}}$
όπου $\left\langle \mathcal{P} \right\rangle$ είναι η πολλαπλασιαστική ημιομάδα η οποία παράγεται από το σύνολο των πρώτων που ικανοποιούν τη σχέση $p \equiv a \pmod{q}$ . Από την άλλη είναι

$\displaystyle{\prod_{p \equiv a \pmod{q}} \left(1 + \frac{1}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{n \in \left\langle \mathcal{P} \right\rangle} \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta_{\mathcal{P}}(2s)}{\zeta_{\mathcal{P}}(s)}}$
όπου $\lambda$ η συνάρτηση Liouville. Τα αποτελέσματα αυτά , λογικά , αρκούν να βγάλουν το αποτέλεσμα.

Υ.Σ 1: Δεν είμαι γνώστης τόσης προχωρημένης αναλυτικής θεωρίας αριθμών.

Υ.Σ 2: Βλέπω ότι ανεβάζεις θέματα που άπτονται προχωρημένων τεχνικών σειρών. Είναι από κάποιο μάθημα που παρακολουθείς ή απλά για προσωπική σου ενασχόληση;

Πεδγια · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Ιαν 14, 2022 10:33 pm Υ.Σ 2: Βλέπω ότι ανεβάζεις θέματα που άπτονται προχωρημένων τεχνικών σειρών. Είναι από κάποιο μάθημα που παρακολουθείς ή απλά για προσωπική σου ενασχόληση;

Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Αυτές οι σειρές προέρχονται από τη δική μου μαθηματική έρευνα.

Tolaso J Kos · #4

Πεδγια έγραψε: Σάβ Ιαν 15, 2022 6:01 am ...Αυτές οι σειρές προέρχονται από τη δική μου μαθηματική έρευνα.

Ενδιαφέρον!!

Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση