U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U620 από το 2ο τεύχος του 2023 των Mathematical Reflections.
H προθεσμία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να την προτείνω.
Το θέμα πρότεινε ο Vasile Lupulescu από τη Ρουμανία.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Μάιος 16, 2023 7:16 am Σας προτείνω το θέμα U620 από το 2ο τεύχος του 2023 των Mathematical Reflections.
H προθεσμία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να την προτείνω.
Το θέμα πρότεινε ο Vasile Lupulescu από τη Ρουμανία.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

Για $\displaystyle k\geqslant \frac{n}{2}$ είναι

$\displaystyle \frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}\geq \frac{1}{4}$

Τα υπόλοιπα είναι απλά τουλάχιστον για αυτόν τον φάκελο.

ksofsa · #3

Καλημέρα.

Μπορούμε , διαφορετικά , να γράψουμε:

$\lim_{n\rightarrow +\infty }n\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(\frac{k}{n})^2}{2(\frac{k}{n})^2-2(\frac{k}{n})+1}\cdot \frac{1}{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty } n\int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{2x^2-2x+1}dx= +\infty$

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Μάιος 16, 2023 7:16 am Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

.
$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}\ge \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}+0+n^{2}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2n^{2}+n^{2}}= \dfrac {1}{3n^2}\sum_{k=1}^{n}k^2= \dfrac {1}{3n^2}\cdot \dfrac {1}{6} n(n+1)(2n+1)\ge }$

$\displaystyle{ \ge \dfrac {1}{3n^2}\cdot \dfrac {1}{6} n\cdot n \cdot 2n= \dfrac {1}{9}n \to \infty}$

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Μάιος 16, 2023 7:16 am Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

Μία παραλλαγή. Θα ήταν ίσως λίγο πιο ενδιαφέρον αν η εκφώνηση της άσκησης στο Mathematical Reflections ζητούσε το

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

(μπήκε ένα $\dfrac {1}{n}$ πριν από το άθροισμα). Τώρα το όριο δεν είναι άπειρο, και θα χρειαστεί πιο προσεκτικός χειρισμός από τον συλλογισμό με "εκτίμηση του μεγέθους", όπως έγινε στην πρώτη και στην τρίτη λύση. Η λύση του Κώστα προσαρμόζεται ατόφια στην παραλλαγή, χωρίς αλλαγή στην ουσία του συλλογισμού.

Τώρα εύκολα βλέπουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι το

$\displaystyle{ \int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{2x^2-2x+1}dx = \left [ \dfrac {x}{2} + \dfrac {1}{4} \ln (2x^2-2x+1) \right ] _0^1 = \dfrac {1}{2}}$

Ορέστης Λιγνός · #6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Μάιος 16, 2023 7:16 am Σας προτείνω το θέμα U620 από το 2ο τεύχος του 2023 των Mathematical Reflections.
H προθεσμία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να την προτείνω.
Το θέμα πρότεινε ο Vasile Lupulescu από τη Ρουμανία.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$

Διαφορετικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{2k^{2}-2nk+n^{2}}$ , απ' όπου ο υπολογισμός του δοσμένου ορίου και άλλων συναφών είναι άμεσος.

Πράγματι, είναι 2k^2-2nk+n^2=k^2+(n-k)^2,

οπότε αν ο

είναι άρτιος τότε έχουμε n/2-1

ζεύγη κλασμάτων με το άθροισμα των κλασμάτων σε κάθε ζεύγος να είναι

, και περισσεύει ο n/2-

ος όρος και ο τελευταίος, οπότε το άθροισμα σε αυτή την περίπτωση είναι (n-2)/2+1+1/2=(n+1)/2

.

Αν ο

είναι περιττός, τότε έχουμε (n-1)/2

ζεύγη κλασμάτων και περισσεύει ο τελευταίος όρος που ισούται με $\dfrac{n^2}{n^2+(n-n)^2}=1,$ συνεπώς το άθροισμα ισούται με

$\dfrac{n-1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2}$ .

Συνεπώς, το δοσμένο άθροισμα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με $\displaystyle \dfrac{n+1}{2}$ .

U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U620 ΑΠΟ ΜATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση