![\alpha \in [0,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/74f725ac10fd07911d173c277b58814f.png "\alpha \in [0,1]")
. Να δειχθεί ότι:
Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5569
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: International
- Επικοινωνία:
Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Έστω . Να δειχθεί ότι:
. Να δειχθεί ότι:Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Ετικέτες:
-
Nikitas K.
- Δημοσιεύσεις: 336
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα
, τότε
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}sin\theta\left(\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/25a68d1849897c81b8547067f1f01154.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}sin\theta\left(\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\sin\theta \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'}{\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/297a39f96f7d887816869882a420a5a1.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\sin\theta \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'}{\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\left(\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'\frac{\sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5f76bdf8255ffe8587990f0e54652fd8.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\left(\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)'\frac{\sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{(1+\cos\theta)'\sin\theta - (1+\cos\theta)\sin'\theta}{sin^2\theta}\frac{\sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9052b886c436c0b8338b80a40f349e7f.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{(1+\cos\theta)'\sin\theta - (1+\cos\theta)\sin'\theta}{sin^2\theta}\frac{\sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{-sin^2\theta-\cos\theta(1+\cos\theta)}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/050a775c668ec0011130af0c924db878.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{-sin^2\theta-\cos\theta(1+\cos\theta)}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\left(\frac{-sin^2\theta}{1+\cos\theta}-\cos\theta
\right)\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bec0f716ca5b815b4176356ece6e543a.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\left(\frac{-sin^2\theta}{1+\cos\theta}-\cos\theta
\right)\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{-sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta - \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}-\cos\theta\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/aa0fa0ac119aeaeec7ba4cfbf4aef036.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{-sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta - \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}-\cos\theta\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos\theta\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3b51808526c5203a7165a4e2bf5a701f.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\cos\theta\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/84db7514a185c53bedddec379045c930.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{sin^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{1-\cos^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ccc574b3df12605aba0d77ea68184751.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{1-\cos^2\theta}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1+\cos\theta}
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cfeb9bc410070bd27caa670be41790fc.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1+\cos\theta}
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
1-\cos\theta
\,d\theta](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4c695a0543e7076bec1727c52761f3d8.png "\displaystyle =\left[\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta\right]_\frac{\pi}{2}^{0}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
1-\cos\theta
\,d\theta")
![\displaystyle =\left[
\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta +\theta-sin\theta
\right]_\frac{\pi}{2}^{0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b6653628da0ecdaab5b846a9b7b9c271.png "\displaystyle =\left[
\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\sin\theta +\theta-sin\theta
\right]_\frac{\pi}{2}^{0}")
![\displaystyle =\left[
\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\theta
\right]_\frac{\pi}{2}^{0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/11e18f87ce499f318d1818ac9db7d3bf.png "\displaystyle =\left[
\sin\theta\ln\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\theta
\right]_\frac{\pi}{2}^{0}")
![\displaystyle =\lim_{x\to 0^+}\frac{[-\sin^2 x - (1+\cos x) \cos x]\sin x}{\cos x (1 + \cos x)}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b4c048457326c059c445a68ea6fd5035.png "\displaystyle =\lim_{x\to 0^+}\frac{[-\sin^2 x - (1+\cos x) \cos x]\sin x}{\cos x (1 + \cos x)}")
![\displaystyle a\in\left(0,1\right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2a99518f2c6d297acc6e7f079d2c2bfe.png "\displaystyle a\in\left(0,1\right]")
, τότε
Νικήτας Κακούλλης
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
-
Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5569
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: International
- Επικοινωνία:
Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Μία άλλη λύση...
Παρατηρούμε ότι
.Συνεπώς,
}
$
Παρατηρούμε ότι
.Συνεπώς,}
$Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
Nikitas K.
- Δημοσιεύσεις: 336
- Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
- Τοποθεσία: Ρόδος
Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Και εγώ έκανα την ίδια παρατήρηση στην δική μου λύση, αλλά κακώς μου διέφυγε να γράψω
Νικήτας Κακούλλης
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης