ΔΕ Ι

mick7 · #1

Να λυθεί η ΔΕ

$\displaytype y'''=y''\cdot y'$

#2

mick7 έγραψε: Σάβ Οκτ 12, 2024 10:34 pm Να λυθεί η ΔΕ

$\displaytype y'''=y''\cdot y'$

Μία λύση είναι συναρτήσεις της μορφής y=ax+b

αφού

και άρα ικανοποιείται η συνθήκη.

Ας βρούμε λύσεις με $y'(x)\ne 0$ σε οποιοδήποτε

σε κάποιο διάστημα που εργαζόμαστε. Δεν ξέρω τι γίνεται σε όλο το $\mathbb R$ .

Ολοκληρώνοντας έχουμε $y'' = \dfrac {1}{2} (y')^2$ . Θέτωντας y'=z

, οπότε από την υπόθεση ότι $z(x)\ne 0$ σε κάθε

στο διάστημα που εργαζόμαστε. H εξίσωση γράφεται $z'= \dfrac {1}{2} z^2$ , άρα

$\displaystyle{ \int \dfrac {dz}{z^2} = \int \dfrac {1}{2} dx= \dfrac {1}{2} x+c}$ , άρα

$\displaystyle{ -\dfrac {1}{z} = \dfrac {1}{2} x+c$ οπότε $z= \dfrac {-2}{x+2c} }$

Ολοκληρώνοντας ξανά βρίσκουμε

$\displaystyle{\boxed {y = -2 \ln |x+2c| +d }}$

ΔΕ Ι

ΔΕ Ι

Re: ΔΕ Ι

Μέλη σε σύνδεση