Γενικευμένη εκδοχή του Θεωρήματος Ενδιαμέσου Τιμής

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Γ.-Σ. Σμυρλής: Δημοσιεύσεις: 600; Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am; Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Γενικευμένη εκδοχή του Θεωρήματος Ενδιαμέσου Τιμής

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Απρ 06, 2025 2:46 pm

Πρόβλημα. Ἔστω $f:[0,1]\to\mathbb R^2$ συνεχὴς συνάρτηση, ὥστε

$\displaystyle{ f(1)-f(0) = (1,0). }$

Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $n\in\mathbb N,$ ὑπάρχουν $t_1,t_2\in [0,1]$ , ὥστε .

Τὸ ἀνωτέρω ἔχει τὸ ἑξῆς πόρισμα:

Πόρισμα. Ἔστω $\gamma : [0,1]\to\mathbb R^2$ κλειστὴ καμπύλη, $\gamma(t)\ne a,\,$ διὰ κἀθε $t\in [0,1],\,$ καὶ
$\mathrm{Ind}_\gamma(a)=n$ . Τότε ἡ $\gamma$ τέμνει τὸν ἑαυτό της τουλάχιστον φορές.