Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

#1

Παραθέτω τα θέματα από ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ από το Πανεπιστήμιο Κρήτης μιας και πλησιάζει και η εξεταστική περίοδος για τους φοιτητές. Για αυτούς λοιπόν και για όποιον άλλο ενδιαφέρεται :

1) Να εξετασθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές :
i) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{e^{k}}{2e^{k}+1}}$

ii) $\displaystyle{\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)\log k}}$

iii) $\displaystyle{\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k(\log k)^{2}}}$

iv) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}(k+1)^{3}}{2^{k}}}$

v) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sqrt{k^{2}+2}\Big(\frac{1}{k}-\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\Big)}$

vi) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k!}{3^{k^{2}}}}$

vii) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k}\frac{\log k}{\sqrt{k}}}$

2) Βρείτε τα διαστήματα σύγκλισης των δυναμοσειρών και κατόπιν εξετάστε τη σύγκλιση των δυναμοσειρών στα άκρα των αντίστοιχων διαστημάτων σύγκλισης :

i) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k2^{k}}x^{k}}$

ii) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{3^{k}+1}x^{k}}$

iii) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sqrt{k!}x^{k}}$

iv) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}x^{k}}$ , όπου $\displaystyle{a_{k}=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{k} & k=\alpha\rho\tau\iota o\varsigma \\ \displaystyle\frac{2^{k}}{k} & k=\greektext{\pi\varepsilon\rho\iota\tau\tau o \varsigma}\end{cases}}$

3) Θεωρούμε τις συνασρτήσεις $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{nx}{1+4n^{3}x^{3}}}$ , $\displaystyle{x\in[0,+\infty)}$ , $\displaystyle{n\in\mathbb{N}}$ .

i) Βρείτε συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{f_{n}\stackrel{\kappa.\sigma.}{\longrightarrow}f}$ στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ .

ii) Συγκλίνει η $(f_{n})$ ομοιόμορφα στην $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ ;

iii) Αποδείξτε ότι, για κάθε $\displaystyle{a>0}$ είναι $\displaystyle{f_{n}\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}f}$ στο $\displaystyle{[a,+\infty)}$ .

Υ.Γ. διορθώθηκαν τυπογραφικά

#2

$\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{nx}{1+4n^{3}x^{3}}}, \displaystyle{x\in[0,+\infty)}, \displaystyle{n\in\mathbb{N}}.$

${\rm{i)}}$ Γιά x=0

, $f_{n}(0)=0$ .
Γιά $x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ καί γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ , ισχύει $0<\dfrac{nx}{1+4n^3x^3}\leq\dfrac{nx}{n^3x^3}=\dfrac{1}{n^2x^2}$ καί $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\dfrac{1}{n^2x^2}=0$ . Επομένως $f_{n}\stackrel{\kappa.\,\sigma.}{\longrightarrow}0$ στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

${\rm{ii)}}$ Γιά τήν ομοιόμορφη σύγκλιση στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ :
Γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ , η συνάρτηση $f_{n}(x),\,x\in\left[{0,\,+\infty}\right)$ έχει παράγωγο $f_{n}^{\prime}(x)=\dfrac{n\,({1-8n^3x^3})}{\left({1+4n^3x^3}\right)^2}$ καί παρουσιάζει ολικό μεγιστό στά $x=\dfrac{1}{2n}$ μέ μέγιστη τιμή τήν $f_{n}\left({\tfrac{1}{2n}}\right)=\dfrac{1}{3}$ .
Επομένως $\sup\left\lbrace{\left|{f_{n}(x)-0}\right|:x\in\left[{0,\,+\infty}\right)}\right\rbrace=\dfrac{1}{3}\neq0$ καί $f_{n}\not\rightrightarrows0$ στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ .

${\rm{iii)}}$ Γιά τήν ομοιόμορφη σύγκλιση στό $\left[{a,\,+\infty}\right)$ , a>0

:
Γιά $x\in\left[{a,\,+\infty}\right)$ καί γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ , ισχύει $0<\dfrac{nx}{1+4n^3x^3}\leq\dfrac{nx}{n^3x^3}=\dfrac{1}{n^2x^2}<\dfrac{1}{n^2a^2}$ .
Επομένως $\sup\left\lbrace{\left|{f_{n}(x)-0}\right|:x\in\left[{a,\,+\infty}\right)}\right\rbrace<\dfrac{1}{n^2a^2}\rightarrow0$ καί $f_{n}\rightrightarrows0$ στό $\left[{a,\,+\infty}\right)$ , $a>0.\quad\square$

#3

$1. \ {\rm{i)}}$ Επειδή γιά τήν σειρά θετικών όρων $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{n}}{2e^{n}+1}$ , ισχύει $\displaystyle\frac{e^{n}}{2e^{n}+1}>\frac{e^{n}}{4e^{n}}=\frac{1}{4}$ , γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ καί $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4}=+\infty$ έπεται ότι $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{n}}{2e^{n}+1}=+\infty.\quad\square$

#4

Γρηγόρη ωραία.
Ένας άλλος τρόπος για το 3iii)

είναι να πούμε ότι : Έστω a>0

. Για $\displaystyle{n>\frac{1}{2a}}$ η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[a,+\infty)}$ με $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f_{n}(x)=0}$ και $\displaystyle{\max_{x\in[a,+\infty)}f_{n}(x)=f_{n}(a)=\frac{na}{1+4n^{3}a^{3}}\to0}$ .

#5

Ο χρόνος τελείωσε. Κάτω τα μολύβια παρακαλώ και σιγά σιγά παραδώστε τις κόλες...ότι γράψαμε γράψαμε, ε..

#6

$2. \ {\rm{i)}}$ $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{n2^n}}}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{n2^n} =1\cdot2=2$ . Άρα η ακτίνα σύγκλισης τής $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2^n}\,x^n$ είναι R=2

.
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{({-2})^n}{n2^n}=-\ln{2}$ καί $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n2^n}=+\infty.\quad\square$

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ο χρόνος τελείωσε. Κάτω τα μολύβια παρακαλώ και σιγά σιγά παραδώστε τις κόλες...ότι γράψαμε γράψαμε, ε..

Τό περνάω μέ αυτά πού έχω γράψει;

#7

grigkost έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ο χρόνος τελείωσε. Κάτω τα μολύβια παρακαλώ και σιγά σιγά παραδώστε τις κόλες...ότι γράψαμε γράψαμε, ε..
Τό περνάω μέ αυτά πού έχω γράψει;

Γρηγόρη οριακά είσαι αλλά θα δούμε τι θα κάνουμε...

Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου

#8

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:..Γρηγόρη οριακά είσαι αλλά θα δούμε τι θα κάνουμε...

Αναστάσιε, επειδή δέν μ' αρέσουν οί χάρες:

$1. \ {\rm{ii)}}$ Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{({2^{n-1}+1})\,\log({2^{n-1}})}\geq\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{2\cdot2^{n-1}\,\log({2^{n-1}})}=\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{2({n-1})\log{2}}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\log{2}}\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1}=+\infty$ καί η ακολουθία θετικών όρων $\left({\frac{1}{({n+1})\log{n}}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα, έπεται ότι καί η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{({n+1})\log{n}}$ επίσης αποκλίνει $.\quad\square$

${\rm{iii)}}$ Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}\bigl({\log({2^{n-1}})}\bigr)^2}=\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{({n-1})^2\,({\log2})^2}=\frac{1}{({\log2})^2}\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{({n-1})^2}=\frac{\pi^2}{6\,({\log2})^2}$ καί η ακολουθία θετικών όρων $\left({\frac{1}{n\,({\log{n}})^2}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα, έπεται ότι καί η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\,({\log{n}})^2}$ συγκλίνει $.\quad\square$

edit: Διορθώθηκε ο παρανομαστής τού πρώτου κλάσματος τού $1. \ {\rm{ii)}}$ κατόπιν υπόδειξης τού Αναστάσιου.

#9

$1. \ {\rm{iv)}}$ $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^n\frac{({n+1})^3}{2^n}=-\frac{2^3}{2^1}+\frac{3^3}{2^2}-\frac{4^3}{2^3}+\mathop{\sum}\limits_{n=4}^{+\infty}({-1})^n\frac{({n+1})^3}{2^n}=-\frac{21}{4}+\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^{n+3}\frac{({n+4})^3}{2^{n+3}}=$

$\displaystyle-\frac{21}{4}+\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^{n+1}\frac{({n+4})^3}{2^{n+3}}$ .
Επειδή η ακολουθία θετικών αριθμών $\bigl({\frac{({n+4})^3}{2^{n+3}}}\bigr)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα καί μηδενική, έπεται ότι η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^{n+1}\frac{({n+4})^3}{2^{n+3}}$ συγκλίνει $.\quad\square$

Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Re: Ένα διαγώνισμα στο μάθημα της Ανάλυσης ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση