Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μπορεί να είναι εύκολο αλλά δεν θυμάμαι πως τα λύνουμε, για να φρεσκάρω τις γνώσεις μου θα ήθελα μια βοήθεια!

1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int {\int {\left( {{e^{{x^2}}} + {y^2}} \right)dydx} } }$
D

όπου D= δίσκος $\displaystyle{{x^2} + {y^2} \le 1}$

2. Υπολογίστε το $\displaystyle{\oint\limits_C {ydx - xdy} }$ όπου C το σύνορο του τετραγώνου $\displaystyle{\left[ { - 1,1} \right] \times \left[ { - 1,1} \right]}$

#2

Υποθέτω ότι στο πρώτο το y^2

βρίσκεται στον εκθέτη.
Με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες

$\displaystyle{x=r \cos t, y=r\sin t,}$ με $\displaystyle{r\in [0,1], t\in [0,2\pi]}$ επειδή είναι

$\displaystyle{\frac{D(x,y)}{D(r,t)}=r,}$

το διπλό ολοκλήρωμα γράφεται

$\displaystyle{J=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} e^{r^2}r drdt=2\pi \int_{0}^{1}re^{r^2}dr=\pi (e-1).}$

Για το δεύτερο αρκεί να θυμηθούμε ότι το

$\displaystyle{\oint_{C}xdy-ydx}$ μας δίνει το διπλάσιο του εμβαδού του χωρίου

.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το χωρίο είναι τετράγωνο πλευράς

, άρα το ολοκλήρωμα ισούται με -8.

#3

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μπορεί να είναι εύκολο αλλά δεν θυμάμαι πως τα λύνουμε, για να φρεσκάρω τις γνώσεις μου θα ήθελα μια βοήθεια!

1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int {\int {\left( {{e^{{x^2}}} + {y^2}} \right)dydx} } }$
D

όπου D= δίσκος $\displaystyle{{x^2} + {y^2} \le 1}$

2. Υπολογίστε το $\displaystyle{\oint\limits_C {ydx - xdy} }$ όπου C το σύνορο του τετραγώνου $\displaystyle{\left[ { - 1,1} \right] \times \left[ { - 1,1} \right]}$

Για το πρώτο, κάνουμε αλλαγή σε πολικές οπότε $r^2 = x^2 + y^2, y = rcos \theta$ . Τα όρια του r είναι 0 έως 1 και του θ, 0 έως 2π. Επίσης η Ιακωβιανή είναι rdrdθ. Τώρα τα ολοκληρώματα είναι ακριβή.

Για το δεύτερο έχουμε παραμετρικοποίηση κάθε πλευράς (χωριστά) του τετραγώνου. Π.χ. η πλευρά από το (-1, -1) στο (-1, 1) είναι (-1, t) με t μεταξύ -1 και 1. Όμοια οι υπόλοιπες. Τώρα το ολοκλήρωμα, ως άθροισμα τεσσάρων απλών, δεν παρουσιάζει πρόβλημα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωmega Man · #4

Ας δούμε και πως επαληθεύεται το δεύτερο με την χρήση του προγράμματος Maple,

$\bf \color{red} > \color{black} with(VectorCalculus);SetCoordinates(Cartesian[x,y]);$
$\bf \color{red} > \color{black} F:=VectorField(<y,-x>);$
$\bf\color{red}> \color{black} C_{1}:=Line(<1,1>,<1,-1>);C_{2}:=Line(<1,-1>,<-1,-1>);$
$\bf\color{red}>\color{black}\bf C_{3}:=Line(<-1,-1>,<-1,1>);C_{4}:=Line(<-1,1>,<1,1>);$
$\bf\color{red}>\color{black} LineInt(F,C_{1})+LineInt(F,C_{2})+LineInt(F,C_{3})+LineInt(F,C_{4})$

το οποίο θα δώσει -8.

#5

matha έγραψε: Για το δεύτερο αρκεί να θυμηθούμε ότι το

$\displaystyle{\oint_{C}xdy-ydx}$ μας δίνει το διπλάσιο του εμβαδού του χωρίου .

Το οποίο είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος Green.

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Ευχαριστώ πάρα πολύ Θάνο, Μιχάλη, Γιώργο και Δημήτρη για τις απαντήσεις σας!

Με μπέρδεψε τελικά το +y^2

, τελικά είναι στον εκθέτη και είναι πολύ απλό!!

Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Re: Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Re: Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Re: Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Re: Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Re: Διπλό ολοκλήρωμα σε τόπο

Μέλη σε σύνδεση