Σύγκλιση ακολουθίας

#1

Αν $a=2+\sqrt{2}$ να εξεταστεί ως προς τη συγκλιση η ακολουθία x_n=a^n-[a^n], n=1,2,...

, όπου

=το ακέραιο μέρος του

#2

s.kap έγραψε:Αν $a=2+\sqrt{2}$ να εξεταστεί ως προς τη συγκλιση η ακολουθία , όπου =το ακέραιο μέρος του

Έστω $b=2-\sqrt{2}$ , οπότε 0<b<1

. Θεωρούμε την ακολουθία y_n=a^n+b^n

.

Αφού

είναι $ay_{n+1}=a^{n+2}+2b^n$ και $by_{n+1}=2a^n+b^{n+2}$ , οπότε προσθέτοντας κατά μέλη, αφού a+b=4

παίρνουμε

$y_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}= 4y_{n+1}-2y_n$ .

Αφού y_1=4

και

κι αφού

με επαγωγή δείχνουμε ότι $y_n \in \mathbb{N}$ για κάθε $n\geq 1$ .

Έπειτα, αφού y_n-1<a^n <y_n

, συμπεραίνουμε ότι $y_n=\lfloor a^n \rfloor +1$ .

Άρα $x_n=1-b^n \to 1$ , καθώς $n\to \infty$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σημείωση: Η παραπάνω λύση είναι αυτή που είχα επινοήσει ως φοιτητής στην άσκηση 4.16, σελ. 60 του βιβλίου "Απειροστικός Λογισμός Ι" των Νεγρεπόντη, κ.α., κι ευτυχώς την είχα γράψει στο περισθώριο του βιβλίου.

#3

Αχιλλέα σε ευχαριστώ. Έτσι περίπου την έλυσα και εγώ. Ας γράψω και τη δική μου λύση:
Αν $b=2- \sqrt{2}$ , τότε για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$ , εύκολα αποδεικνύεται, με επαγωγή ότι $a^n+b^n \in \mathbb{Z}$ . Επιπλέον a^nb^n=2^n

Άρα

ή

Αν

(Επειδή

, άρα

)
Αλλά $a^n+b^n=a^n+ \frac {2^n}{a^n} \geq a^n \Rightarrow [a^n] \geq a^n$ , άρα $a^n \in \mathbb{Z}$ , άρα και $b^n \in \mathbb{Z}$ , άτοπο γιατί $b^n \to 0$ .
Συνεπώς $a^n+b^n=[a^n]+[b^n]+1=[a^n]+1 \Rightarrow a^n-[a^n]=1-b^n \to 1$

Σύγκλιση ακολουθίας

Σύγκλιση ακολουθίας

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση