Ωραίο θέμα μιγαδικής..

Ωmega Man · #1

Έστω συνάρτηση $\bf f$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με συμπαγή φορέα. Θεωρούμε,
$\boxed{\displaystyle \bf I(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{+\infty} f(x)\cdot x^{s-1}\;dx}$ .
(α)Είναι η $\bf I$ ολόμορφη για $\bf \Re e(s)>0$ και αν ναι γιατί;
(β) Να δειχτεί ότι η $\bf f$ έχει αναλυτική συνέχεια σαν ακέραια συνάρτηση σε μιγαδικό επίπεδο.
(γ) Να δειχτεί ότι $\bf I(0)=0$ και γενικότερα ότι $\bf I(-n)=(-1)^n f^{(n+1)}(0)$ για κάθε $\bf n\geq 0$ .

#2

(α) Είναι γνωστό πως η $\Gamma$ είναι ολόμορφη για $\Re(s) > 0$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως η $\Delta(s) = \int_0^{\infty} f(x) x^{s-1} \; dx$ είναι ολόμορφη για $\Re(s) > 0$ . Κατ' αρχήν επειδή η

είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα, άρα είναι και φραγμένη και άρα το ολοκλήρωμα συγκλίνει για $\Re(s) > 0$ . Επίσης για $\Re(s) > 0$ έχουμε $\displaystyle{ \Delta{'}(s) = \int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} f(x) x^{s-1} \; dx = \int_0^{\infty} f(x) (\log{x}) x^{s-1} \; dx}$ και το τελευταίο ολοκλήρωμα συγκλίνει αφού $\Re(s) > 0$ . Πρέπει βέβαια να δικαιολογήσουμε την εναλλαγή ολοκλήρωσης και μερικής παραγώγισης. Αρκεί να ελέγξουμε ότι
- Η συνάρτηση $x \to f(x) x^{s-1}$ είναι ολοκληρώσιμη για κάθε $\Re(s) > 0$
- Η συνάρτηση $s \to f(x) x^{s-1}$ είναι παραγωγίσιμη για κάθε $x \in (0,\infty)$
- Για κάθε $\Re(s) > 0$ η συνάρτηση $x \to \left| \frac{\partial}{\partial s} f(x) x^{s-1} \right| = |f(x) (\log{x}) x^{\Re(s) - 1}|$ είναι παραγωγίσιμη.

(β) Παρατηρούμε (ολοκλήρωση κατά μέλη) ότι $\displaystyle{ \int_0^{\infty} f(x) x^{s-1} \; dx = -\frac{1}{s} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^s \; dx}$ . Χρησιμοποιήσαμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^s f(x)}{s} = 0}$ και $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{x^s f(x)}{s} = 0}$ . (Το πρώτο έπεται αφού η

είναι φραγμένη και το δεύτερο αφού έχει συμπαγή φορέα.)

Άρα $\displaystyle{ I_f(s) = -\frac{1}{s\Gamma(s)} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^s \; dx = -\frac{1}{\Gamma(s+1)} \int_0^{\infty} f{'}(x) x^{s+1-1} \; dx = -I_{f{'}}(s+1)}$ και επαγωγικά $\displaystyle{ I_f(s) = (-1)^n I_{f^{(n)}}(s+n)}$ .

Η συνάρτηση $I_{f^{(n)}}(s+n)$ είναι ολόμορφη για $\Re(s) > -n$ (ίδια απόδειξη αφού επαγωγικά η f^(n)

είναι συνεχής και έχει συμπαγή φορέα) και άρα αποτελεί την αναλυτική συνέχεια της I_f

σε αυτό το διάστημα. Άρα η I_f(s)

έχει αναλυτική συνέχεια σε όλο το $\mathbb{C}$ .

(γ) Έχουμε $I_f(-n) = (-1)^{n+1}I_{f^{(n+1)}}(1) = (-1)^{n+1}\frac{1}{\Gamma(1)} \int_0^{\infty} f^{(n+1)}(x) \; dx = (-1)^{n+1}f^{(n)}(0)$

Δεν βρίσκω την ζητούμενη απάντηση στο (γ) αλλά νομίζω πως η απάντησή μου είναι σωστή. (Επίσης στο (β) πρέπει να ζητάει ότι η

έχει αναλυτική συνέχεια και όχι η

.)

Ωραίο θέμα μιγαδικής..

Ωραίο θέμα μιγαδικής..

Re: Ωραίο θέμα μιγαδικής..

Μέλη σε σύνδεση