Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (1)

#1

Έστω ακολουθία $\displaystyle{a_{n}}$ με $\displaystyle{a_{1}=1}$ και $\displaystyle{a_{n+1}=\frac{n}{a_{n}}}$ για $\displaystyle{n\geq1}$ .

Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}}$ .

dement · #2

Για να δουμε.

Διαπιστωνουμε οτι ο γενικος ορος της ακολουθιας δινεται απο τον τυπο $\displaystyle a_n = \frac{(n-1)!!}{(n-2)!!}$ και ετσι το αθροισμα μας ειναι $S_n = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{(k-2)!!}{(k-1)!!}$ .

Ισχυει (2n)!! = 2^n n!

, ενω ασυμπτωτικα ισχυει $\displaystyle (2n+1)!! \sim \frac{2^{n+1} n! \sqrt{n}}{\Gamma(1/2)}$ (με την εννοια οτι ο λογος τους τεινει στο

). Εχουμε $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ . Οποτε $\displaystyle \frac{1}{a_{2n}} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{n}}$ ενω $\displaystyle \frac{1}{a_{2n+1}} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ .

Ετσι, για την υπακολουθια $S_{2n}$ αρκει να υπολογισουμε (απο Cesaro-Stolz) το οριο της $\displaystyle \frac{1/a_{2n-1} + 1/a_{2n}}{\sqrt{2n} - \sqrt{2n-2}}$ , το οποιο ισουται με $\displaystyle \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}} + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)$ . Το ιδιο οριο εχει και η υπακολουθια $S_{2n+1}$ , οποτε αυτο ειναι το οριο του αθροισματος.

Δημητρης Σκουτερης

Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (1)

Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (1)

Re: Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση