Αρμονική σειρά

#1

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση

ώστε $f(n)=1+\frac {1}{2}+...+\frac {1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}$

#2

Aς υποθέσουμε ότι υπήρχε και ήταν η $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }$ με τα f, g

να είναι πολυώνυμα. Αφού η αρμονική σειρά απειρίζεται η συνάρτηση μας στο $+ \infty$ θα έχει όριο $+ \infty$ που σημαίνει ότι ο βαθμός του

του

είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό

του

.
Αλλά τότε βγάζοντας στον αριθμητή κοινό παράγοντα το $x^{m-n}$ βρίσκουμε ότι:
$\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=x^{m-n}s\left( x\right)$
όπου η $s\left( x\right)$ έχει στο $+ \infty$ πεπερασμένο όριο a>0

.
Επομένως
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }-\ln x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{m-n}s\left( x\right) -\ln x\right) =x^{m-n}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( s\left( x\right) -\frac{\ln x}{x^{m-n}}\right) =+\infty$
Άρα και
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{f\left( n\right) }{g\left( n\right) }-\ln n\right) =+\infty$ άτοπο διότι
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{f\left( n\right) }{g\left( n\right) }-\ln x\right) =\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln n\right) =\gamma \in \mathbb{R}$
Μαυρογιάννης

#3

Νίκο, ωραία λύση!

Και μία διαφορετική:

Έστω $\displaystyle{f(x)=\frac {a_qx^q+a_{q-1}^{q-1}+...+a_1x+a_0}{b_{p}x^p+b{p-1}x^{p-1}+...+b_1x+b_0}}$ , με

$a_q,a_{q-1},...,a_1,a_0,b_p,b_{p-1},...,b_1,b_0 \in \mathbb{R}$ .

Επειδή $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+...+\frac {1}{n}\right)=+\infty}$ θα πρέπει

$q>p \wedge \frac {a_q}{b_p}>0$ . Θέτουμε $q-p=r \ge 1$ , οπότε

$\displaystyle{\frac {a_q}{b_p}=\lim_{n \to \infty} \frac {a_qn^q+...+a_1n+a_0}{b_pn^q+...+b_0n^{q-p}}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to \infty}\frac {1+\frac {1}{2}+...+\frac{1}{n}}{n^r}}$ .

Από το λήμμα Stoltz-Cezaro:

$\displaystyle{\frac {a_q}{b_p}=\lim_{n \to \infty} \frac {1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+...+\frac {1}{n}+\frac {1}{n+1}-\left(1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+...+\frac {1}{n}\right)}{(n+1)^r-n^r}}$

$\displaystyle{=\lim_{n \to \infty} \frac {1}{(n+1)\left((n+1)^r-n^r\right)}=0}$ , άτοπο.

Αρμονική σειρά

Αρμονική σειρά

Re: Αρμονική σειρά

Re: Αρμονική σειρά

Μέλη σε σύνδεση