Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για ακολουθία ολοκληρωμάτων

#1

Ας βρεθεί ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για την $\displaystyle{I_{n}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{x^{2n}+1}}\,dx}$ .

#2

Το επαναφέρω. Θα το αφήσω ακόμα για λίγες μέρες και αν δεν υπάρξει λύση θα βάλω εγώ μια.

#3

Μια λύση:

Έχουμε $\displaystyle{ I_{n}\stackrel{x^n=e^{-y}}{=}\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-y/n}}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy}$ . Επίσης από το θεώρημα του Taylor για την $f(x)=e^{-x}$ στο $[0,+\infty)$ , έχουμε ότι για κάθε $x\geq0$ και $k\geq1$ είναι

$\displaystyle{\de e^{-x}=1-x+\cdots+(-1)^{k-2}\frac{x^{k-2}}{(k-2)!}+(e^{-x})^{(k-1)}(c_{x})\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=}$

$\displaystyle{1-x+\cdots+(-1)^{k-2}\frac{x^{k-2}}{(k-2)!}+(-1)^{k-1}e^{-c_{x}}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\leq1-x+\cdots+(-1)^{k-2}\frac{x^{k-2}}{(k-2)!}+\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}}$

όπου $c_{x}\geq0$ . Για x=y/n

έπεται ότι

$\displaystyle{\de 0\leq I_{n}=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-y/n}}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy-\cdots+\frac{1}{(k-1)!n^{k}}\int_{0}^{+\infty}\frac{y^{k-1}}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy\quad\boxed{*}}$

$\boxed{*}$ Τα ολοκληρώματα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{y^{i}}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy}$ για $i=0,\ldots,k-1$ συγκλίνουν, αφού για

κοντά στο $+\infty$ είναι $\displaystyle{\frac{y^k}{\sqrt{e^{2y}+1}}\sim\frac{y^k}{e^y}<\frac{c}{y^2}}$ για κάποιο c>0

.

και συνεπώς $\displaystyle{ I_{n}=\frac{a_{1}}{n}+\cdots+\frac{a_{k-1}}{n^{k-1}}+\mathcal O(1/n^k)}$ όπου $\displaystyle{ a_{i}=\frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{+\infty}\frac{y^{i-1}}{\sqrt{e^{2y}+1}}\,dy}$ .

Μπορούν να υπολογισθούν τα $a_{i}$ δεν είχα καταφέρει κάτι όταν την πάλευα τούτη δω.

Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για ακολουθία ολοκληρωμάτων

Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα για ακολουθία ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση