Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

#1

Γνωρίζουμε ότι αν ένα πολυώνυμο έχει μόνο πραγματικές ρίζες, τότε όλες οι ρίζες της παραγώγου του είναι πραγματικές. Να δειχθεί η ακόλουθη γενίκευση:

Θεώρημα: Όλες οι ρίζες της παραγώγου $P^{\prime}$ ενός μη σταθερού πολυωνύμου

βρίσκονται στην κυρτή θήκη των ριζών του

.

#2

Νομίζω αυτό είναι το θεώρημα του Lucas (φιλαράκι μου...

).

Θα δείξουμε το εξής: Αν το μιγαδικό μη σταθερό πολυώνυμο

έχει όλες τις ρίζες του σε ένα κλειστό ημιεπίπεδο, τότε το ίδιο ισχύει και γιά το $p^{\prime}$ .

Το ζητούμενο κατόπιν έπεται θεωρώντας τις τομές των ημιεπιπέδων που περιέχουν την κυρτή θήκη των ριζών του

.

Λόγω του ότι μέσω του μετασχηματισμού $z\to a\cdot z+b$ μπορούμε να απεικονίσουμε οποιοδήποτε κλειστό ημιεπίπεδο στο $H:=\{z\in\mathbb{C}:Re(z)\leq0\}$ , αρκεί, πάλι, το ζητούμενο να δειχθεί για την περίπτωση που το

έχει όλες τις ρίζες του στο

.

Αν $p(z)=b_{n}z^{n}+\ldots+b_{0}$ , τότε $\frac{p^{\prime}}{p}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{z-a_{i}}$ , όπου $H\ni a_{i}\,\,\,i=1,\ldots,n$ οι ρίζες του

.
Αν τώρα $z\in H^{c}$ , καθώς $a_{i}\in H$ , θα έχουμε $\frac{1}{z-a_{i}}\in H^{c}$ , άρα και $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{z-a_{i}}\in H^{c}$ , και επειδή $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{z-a_{i}}\neq0$ , έπεται ότι οι ρίζες του $p^{\prime}$ θα είναι στο

.

#3

Αναστάσιε, αυτήν την εξαιρετικά όμορφη λύση δεν την γνώριζα. Η λύση που γνώριζα είναι αυτή που βρίσκεται στην wikipedia.

#4

Demetres έγραψε:Αναστάσιε, αυτήν την εξαιρετικά όμορφη λύση δεν την γνώριζα. Η λύση που γνώριζα είναι αυτή που βρίσκεται στην wikipedia.

Και στο αρθρο αυτο της wikipedia υπαρχει παραπομπη στο Θεωρημα του Marden που ειχα αναφερει εδω προ καιρου

Γιωργος Μπαλογλου

Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

Re: Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

Re: Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

Re: Ρίζες παραγώγου πολυωνύμου στο μιγαδικό επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση