Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

#1

Έστω ακολουθία a_n

η οποία ορίζεται ως εξής: $\displaystyle{\int_{a_n}^{a_{n+1}} (1+|\sin x|)dx=(n+1)^2}$ για $\displaystyle{(n=1,\ 2,\ \cdots)}$ και $\displaystyle{\ a_1=0}$ .

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^3}}$ .

dement · #2

Ισχυει $\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( 1 + | \sin x | \right) dx = a_{n+1} - a_n + \int_{a_n}^{a_{n+1}} | \sin x | dx$ και, αφου $\displaystyle \int_x^{x+ \pi} | \sin t | dt = 2$ για καθε $x \in \mathbb{R}$ , ισχυει $\displaystyle \left| \frac{2(a_{n+1} - a_n)}{\pi} - \int_{a_n}^{a_{n+1}} | \sin x | dx \right| \leq 2$ .

Ετσι, προσθαφαιρωντας $a_{n+1} - a_n$ , εχουμε $\displaystyle \left| \frac{\pi + 2}{\pi} (a_{n+1} - a_n) - (n+1)^2 \right| \leq 2$ , δηλαδη

$\displaystyle \frac{\pi}{\pi + 2} \left( (n+1)^2 - 2 \right) \leq a_{n+1} - a_n \leq \frac{\pi}{\pi + 2} \left( (n+1)^2 + 2 \right)$

Απο το θεωρημα ισοσυγκλινουσων ακολουθιων εχουμε $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{(n+1)^3 - n^3} = \frac{\pi}{3 (\pi + 2)} = \lim_{n \to + \infty} \frac{a_n}{n^3}$ απο θεωρημα Cesaro-Stolz.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Καλησπέρα Δημήτρη!

dement έγραψε:... ισχυει $\displaystyle \left| \frac{2(a_{n+1} - a_n)}{\pi} - \int_{a_n}^{a_{n+1}} | \sin x | dx \right| \leq 2$ ...

πώς προέκυψε το παραπάνω;

dement · #4

Καλημερα και συγγνωμη για την καθυστερηση !

Εστω $\displaystyle b_n = a_n + \pi \left \lfloor \frac{a_{n+1} - a_n}{\pi} \right \rfloor$

Τοτε $\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt = \int_{a_n}^{b_n} | \sin t| dt + \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt = 2 \left \lfloor \frac{a_{n+1} - a_n}{\pi} \right \rfloor + \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt \geq$

$\displaystyle \geq \frac{2(a_{n+1} - a_n)}{\pi} - 2$

(Χρησιμοποιωντας $\lfloor x \rfloor \geq x - 1$ και $\displaystyle \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt \geq 0$ ).

Ομοιως $\displaystyle \int_{a_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt = \int_{a_n}^{b_n} | \sin t| dt + \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt = 2 \left \lfloor \frac{a_{n+1} - a_n}{\pi} \right \rfloor + \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt \leq$

$\displaystyle \leq \frac{2(a_{n+1} - a_n)}{\pi} + 2$

(Χρησιμοποιωντας $\lfloor x \rfloor \leq x$ και $\displaystyle \int_{b_n}^{a_{n+1}} | \sin t| dt \leq 2$ ).

Δημητρης

Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

Re: Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

Re: Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

Re: Όριο σχετικό με αναδρομική ακολουθία (2)

Μέλη σε σύνδεση