Ισότητα

mathxl · #1

Να αποδείξετε ότι
$\binom{n}{0}.\binom{n}{0}-\binom{n+1}{1}.\binom{n}{1}+\binom{n+2}{2}.\binom{n}{2}+......................+(-1)^n.\binom{2n}{n}.\binom{n}{n}=(-1)^n$

από τον Στουαρτ κΛαρκ

dement · #2

Το προς απόδειξη γράφεται $\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+k}{k} \binom{n}{k} = (-1)^n$ .

Γράφουμε $\displaystyle \binom{n+k}{k} = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \binom{k}{k-i} = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \binom{k}{i} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \binom{k}{i}$ και, αντικαθιστώντας στο προηγούμενο, έχουμε

$\displaystyle \sum_{i=0}^n f(n,i) \binom{n}{i}$ με $\displaystyle f(n,i) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{k}{i}$ . Ισχύει (από γνωστή ταυτότητα) f(n,i) = 0

για $n \neq i$ και f(n,i) = (-1)^n

για

.

Ετσι, η παράστασή μας γίνεται $\displaystyle (-1)^n \binom{n}{n} = (-1)^n$ .

Δημήτρης Σκουτέρης

Ισότητα

Ισότητα

Re: Ισότητα

Μέλη σε σύνδεση