Συγκλίνουσα ακολουθία;

#1

είναι μία ακολουθία πραγματικών για την οποία ισχύει $\displaystyle{|a_{n+1}-a_n|<\frac {1}{n^2}, \forall n \in \mathbb{N}}$ . Συγκλίνει ή όχι;

#2

Υποθέτω ότι είμαστε στο $\mathbb R$ ή στο $\mathbb C$ που είναι πλήρεις χώροι ως προς την απόλυτη τιμή.
Έστω $\varepsilon>0$ . Η σειρά $\displaystyle{\displaystyle{\sum_{k\geq1}\frac{1}{k^2}}}$ συγκλίνει, όπως μπορούμε να δούμε εύκολα και από το ολοκληρωτικό κριτήριο σύγκλισης. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι Cauchy, βρίσκω λοιπόν $\displaystyle{n_{0}:n>m\geq n_{0}\Rightarrow\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k^2}<\varepsilon}$ .

Τώρα για $n>m\geq n_{0}$ είναι $\displaystyle{|a_{n}-a_{m}|<\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k^2}<\varepsilon}$ , άρα η $a_{n}$ είναι Cauchy και συνεπώς συγκλίνει.

Συγκλίνουσα ακολουθία;

Συγκλίνουσα ακολουθία;

Re: Συγκλίνουσα ακολουθία;

Μέλη σε σύνδεση