Όριο ακολουθίας

#1

Αν $a \in (0,1)$ ορίζουμε ακολουθία x_n

με $x_1 \in (0,a)$ και $x_{n+1}=x_n^2-ax_n+a$

Να βρεθεί το $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(x_1x_2...x_n)$

#2

s.kap έγραψε:Αν $a \in (0,1)$ ορίζουμε ακολουθία με $x_1 \in (0,a)$ και $x_{n+1}=x_n^2-ax_n+a$

Να βρεθεί το $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(x_1x_2...x_n)$

Επαγωγικά δείχνουμε ότι 0<x_n<a

: Για

είναι η υπόθεση.
Για το επαγωγικό βήμα έχουμε $x_{n+1}-a= x_n(x_n-a)<0$ και, αφού a<1

, είναι $x_{n+1}-x_n= (x_n-a)(x_n-1)=(-)(-) >0$ . Άρα $x_{n+1} > x_n>0$ .

Τέλος $0<x_1x_2...x_n < a^n \rightarrow 0$ διότι 0<a<1

.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση