Απόδειξη ισότητας

#1

Από μία, από τίς τρείς πρώτες ίσες παραστάσεις, νά εξαγθεί η τέταρτη παράσταση (ισότητα σημειωμένη μέ ? ):

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}(-1)^{\kappa+1}\frac{\sin(\kappa\theta)}{2^{\kappa}}= \mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}{\frac{(-1)^{\kappa+1}}{2^{\kappa+1}\cos(\theta)}}\left[{\sin\left({(\kappa+1)\theta}\right)+\sin\left({(\kappa-1)\theta}\right)}\right] =$
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}{\frac{(-1)^{\kappa+1}}{2^{\kappa}}}\left[{2\,\sin\left({(\kappa-1)\theta}\right)\,\cos(\theta)-\sin\left({(\kappa-2)\theta}\right)}\right] \stackrel{?}{=}$
$\displaystyle\frac{(-1)^{\nu+1}}{{2}^{\nu}}\left[{{\frac{\left({\cos(\theta)+2}\right)\,\sin\left({(\nu+1)\theta}\right)}{\left({4\,\cos(\theta)+5}\right)}}-{\frac{\sin(\theta)\,\cos\left({(\nu+1)\theta}\right)}{\left({4\,\cos(\theta)+5}\right)}}}\right]\,+$
$\displaystyle{\frac{\left({\cos(\theta)+2}\right)\sin(\theta)}{4\,\cos(\theta)+5}}-{\frac{\sin(\theta)\,\cos(\theta)}{4\,\cos(\theta)+5}}$ .

#2

Γρηγόρη αν κατάλαβα καλά το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι η τελευταία παράσταση είναι ένας κλειστός τύπος για το $S_{\nu }=\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( -1\right) ^{k+1}\frac{\sin \left( k\theta \right) }{2^{k}}=-\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( \frac{-1}{2}\right) ^{k}\sin \left( k\theta \right)$ . Μία ιδέα είναι να πάμε με πράξεις:
Ονομάζουμε και $T_{\nu }=\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( -1\right) ^{k+1}\frac{\cos \left( k\theta \right) }{2^{k}}=-\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( \frac{-1}{2}\right) ^{k}\cos \left( k\theta \right)$ οπότε
$-\left( T_{\nu }+iS_{\nu }\right) =\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( \frac{-1}{2}\right) ^{k}\cos \left( k\theta \right) +\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( \frac{-1}{2}\right) ^{k}i\sin \left( k\theta \right) =\sum\limits_{k=1}^{\nu }\left( \frac{-1}{2}\right) ^{k}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{k} =$
$=\frac{-1}{2}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \cdot \frac{\left( \left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \right) ^{\nu }-1}{\left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) -1}=$
$=\frac{-1}{2}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \cdot \frac{\left( \left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \right) ^{\nu }-1}{\left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) -1}=$
$\displaymath=\frac{\left( \frac{-1}{2}\right) ^{\nu +1}\left( \cos \left( \nu +1\right) \theta +i\sin \left( \nu +1\right) \theta \right) +\frac{1}{2}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) }{\left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right) -1}=$
$\frac{\left( \left( \frac{-1}{2}\right) ^{\nu +1}\left( \cos \left( \nu +1\right) \theta +i\sin \left( \nu +1\right) \theta \right) +\frac{1}{2}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \right) \left( \left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta -i\sin \theta \right) -1\right) \allowbreak \allowbreak }{\allowbreak \cos \theta +\frac{5}{4}}$
Θα είναι
$S_{\nu }=-\func{Re}\left( \frac{\left( \left( \frac{-1}{2}\right) ^{\nu +1}\left( \cos \left( \nu +1\right) \theta +i\sin \left( \nu +1\right) \theta \right) +\frac{1}{2}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \right) \left( \left( \frac{-1}{2}\right) \left( \cos \theta -i\sin \theta \right) -1\right) \allowbreak \allowbreak }{\allowbreak \cos \theta +\frac{5}{4}}\right)$
Μέχρι εδώ νομίζω ότι οι πράξεις είναι σωστές. Βάζω ένα κτλ για τις υπόλοιπες.

Μαυρογιάννης

#3

Νίκο, νά σέ ευχαριστήσω γιά τήν λύση.
Εγώ, προσπαθώντας νά αποφύγω τήν μιγαδική ανάλυση, επέμεινα στούς τριγωνομετρικούς χειρισμούς, από όπου καί ( από τόν τύπο τού Simpson ) οί τρείς ισότητες

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}(-1)^{\kappa+1}\frac{\sin(\kappa\theta)}{2^{\kappa}}= \mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}{\frac{(-1)^{\kappa+1}}{2^{\kappa+1}\cos(\theta)}}\left[{\sin\left({(\kappa+1)\theta}\right)+\sin\left({(\kappa-1)\theta}\right)}\right] =$
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}{\frac{(-1)^{\kappa+1}}{2^{\kappa}}}\left[{2\,\sin\left({(\kappa-1)\theta}\right)\,\cos(\theta)-\sin\left({(\kappa-2)\theta}\right)}\right]$ ,

πού όμως δέν φαίνεται νά οδηγούν κάπου.

Απόδειξη ισότητας

Απόδειξη ισότητας

Re: Απόδειξη ισότητας

Re: Απόδειξη ισότητας

Μέλη σε σύνδεση