Αυτό εδώ το βρήκα εντελώς τυχαία και έχει πλάκα.
Να γράψω μερικά γενικά πράγματα στην αρχή και μετά να δούμε το

.
Για κάθε φυσικό

και κάθε πραγματικό

θεωρούμε την εξίσωση

και ορίζουμε

. Κατόπιν, ορίζουμε

.
(α) Γενικά φράγματα: Ισχύει για κάθε

ότι

. Αυτά είναι και τα δυο απλά. Μιας και δεν έχει δοθεί απόδειξη για το κάτω φράγμα σκιαγραφώ μια.
Ισχυρισμός. Έστω

. Για κάθε

έχουμε
Έστω

. Τότε για κάθε ρίζα

της

έχουμε ότι

. Αν

βίσκουμε ότι

. Από την τελευταία έπεται ότι

. Επομένως, για κάθε ρίζα

ισχύει

και το ζητούμενο έπεται.
(β) Υπολογισμός του

. Εδώ έχω μια λύση που διακρίνει περιπτώσεις και δεν ξέρω αν είναι πιο σύντομη απ' αυτή του Δημήτρη.
1. Όλες οι ρίζες πραγματικές.
1α. Οι ρίζες του
είναι οι 
: Από το Θεώρημα του Rolle έπεται ότι

και

. Σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε

. Άρα, είναι:

ή

. Οπότε,

.
1β. Οι ρίζες του
είναι οι 
. Άρα είναι

και

, απ' όπου βρίσκουμε

και

. Επιπλέον, είναι

. Επομένως, είναι

.
2. Μια ρίζα πραγματική και δυο συζυγείς μιγαδικές. Υποθέτουμε ότι οι ρίζες είναι

. Από τους τύπους του Vieta βρίσκουμε:
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
a.

. Τότε, από τις δυο τελευταίες σχέσεις

βρίσκουμε ότι:

. Ειδικότερα,

οπότε

. Λύνοντας την τελευταία ανίσωση βρίσκουμε

.
b.

. Μπορούμε να γράψουμε

με

. Tότε, η υπόθεση δίνει

. Τότε, η δεύτερη σχέση

ξαναγράφεται

από την υπόθεση. Έπεται από την τρίτη σχέση ότι

οπότε θέτοντας

και αντικαθιστώντας στις

βρίσκουμε

. Έτσι, έχουμε:

λαμβάνοντας υπόψιν ότι

.
Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι

.
Έχω μια απόδειξη που (νομίζω ότι) δίνει

. Θα την παραθέσω μόλις βρω χρόνο και την ελέγξω.
Μερικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα:
1. Είναι προφανές ότι

. Υπάρχει το

; Ποιο είναι το

;
2. Να βρεθεί οριακό σημείο της

.
3. (Πιο τολμηρό!) Ποια η σχέση της

με την

;