όριο

mathxl · #1

Αν $a_{n}=\prod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k}) = (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2n})$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n}}$

#2

$\displaystyle{{a_n} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - \frac{1}{{2k}}} \right)} = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot .. \cdot \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot .. \cdot \left( {2n} \right)}} = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{{\left( {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot .. \cdot \left( {2n} \right)} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}}} \approx \frac{{\sqrt {4\pi n} {{\left( {\dfrac{{2n}}{e}} \right)}^{2n}}}}{{{2^{2n}}2\pi n{{\left( {\dfrac{n}{e}} \right)}^{2n}}}} = \frac{1}{{\sqrt {\pi n} }}\xrightarrow{{n \to \infty }}0}$

Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος του Stirling $\displaystyle{n! \approx \sqrt {2\pi n} {\left( {\frac{n}{e}} \right)^n}}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

#3

mathxl έγραψε:Αν $a_{n}=\prod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k}) = (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2n})$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n}}$

Αλλιώς: Με χρήση της $(1+c_1)(1+c_2)...(1+c_n) \ge 1 + c_1 +c_2+... +c_n$ για θετικά c_k

(η απόδειξη είναι απλή) έχουμε

$\displaystyle{ 0\le \prod_{k=1}^{n} \left (1-\frac{1}{2k}\right ) \le \prod_{k=1}^{n} \frac {1}{1+\frac{1}{2k}} \le \frac {1}{1 + \sum _{k=1}^{n} \frac {1}{2k}}}$

To τελευταίο τείνει στο

διότι αποκλίνει στο άπειρο η $\displaystyle{\sum\frac {1}{k} }$ .

Παραλλαγή: Από την $\displaystyle{1-x\le e^{-x} }$ για $x\ge 0$ (απλή από μελέτη μέσω παραγώγων της (1-x)e^x

) έχουμε

$\displaystyle{ 0\le \prod_{k=1}^{n}\left (1-\frac{1}{2k} \right) \le e^{-\sum _{k=1}^{n} \frac {1}{2k}} \to 0$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση