Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

ghan · #1

Έστω $\displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+x+1$ . Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \nu \ln \frac{f(\nu +1)}{f(\nu )} \right\}$ .

(Ερώτημα: Μπορούμε να δείξουμε, χωρίς να βρούμε το όριο, ότι το Sup

του συνόλου των τιμών της είναι ο αριθμός 2, αφού είναι γνησίως αύξουσα με ένα άνω φράγμα τον αριθμό 2;)

STOPJOHN · #2

Καλησπέρα ghan καλή η ιδέα σου θα τη μελετήσω δεν είμαι σίγουρος για το αποτέλεσμα
Γιάννης

#3

Δεν είμαι σίγουρος τι ακριβώς ζητάς.

Θα χρησιμοποιήσω την ανισότητα $\displaystyle{ \frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x}$ για κάθε x > -1

. [Η δεξιά ανισότητα είναι αρκετά γνωστή. Για την αριστερή απλώς εφαρμόζουμε την δεξιά με x = -y/(1+y)

για να πάρουμε $\ln(1/(1+y)) \leqslant -y/(1+y)$ και άρα $\ln(1+y) \geqslant y/(1+y)$ .]

Επειδή $\displaystyle{ \frac{f(n+1)}{f(n)} = 1 + \frac{2n+2}{n^2 + n + 1} \begin{cases} < \frac{2}{n} \\ > \frac{2}{n+1} \end{cases}}$ από τις πιο πάνω ανισότητες έχουμε $\displaystyle{ \frac{2n}{n+3} < n\ln\left( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right) < 2.}$

Από εδώ φαίνεται και ότι το supremum ισούται με 2 και ότι το όριο ισούται με 2.

ghan · #4

Αυτό ακριβώς.

Ευχαριστώ.

Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

Re: Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

Re: Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

Re: Θέμα 40 (από τον φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση