Παραλλαγή προβλήματος από διαγωνισμό Ισραήλ

Nick1990 · #1

Έστω $a_n, n \in \mathbb{N}$ θετική ακολουθία που συγκλίνει στο

, και
$\displaystyle{S_n = \sum_{k=1}^{n}{a_k}, n \in \mathbb{N}}$ .
Αν η ακολουθία S_n

απειρίζεται, δείξτε ότι η σειρά:
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{a_{k+1}}{{S_k}^2}}}$
συγκλίνει!

Η ιδέα για τη λύση μου είναι σχεδόν ίδια με την ιδέα για τη λύση που έχω βάλει εδώ:

http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=23371

Edit: Διόρθωσα την εκφώνηση, με την προηγούμενη εκφώνηση δεν ήταν απαραίτητες οι δύο συνθήκες.

#2

Η ιδέα είναι ουσιαστικά αυτή του Νίκου στο άλλο πρόβλημα.

Έχουμε $\displaystyle{ \sum_{k=1}^N \frac{a_{k+1}}{S_k^2} = \sum_{k=1}^N \frac{S_{k+1}}{S_k}\frac{a_{k+1}}{S_kS_{k+1}} = \sum_{k=1}^N \frac{S_{k+1}}{S_k}\left(\frac{1}{S_k} - \frac{1}{S_{k+1}} \right) }$

Όμως $\displaystyle{ \frac{S_{k+1}}{S_k} = 1 + \frac{a_{k+1}}{S_k} \leqslant 1 + \frac{a_{k+1}}{a_1}}$ και επειδή η (a_n)

συγκλίνει στο 0, τότε είναι φραγμένη και άρα και η ακολουθία $(S_{n+1}/S_n)$ είναι φραγμένη. Έστω

ένα άνω φράγμα. Τότε έχουμε

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^N \frac{a_{k+1}}{S_k^2} \leqslant K \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{S_k} - \frac{1}{S_{k+1}} \right) = K\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{S_{N+1}}\right) \leqslant \frac{K}{a_1}}$

Αφού αυτό ισχύει για κάθε

η σειρά συγκλίνει.

[Δεν χρησιμοποιήσαμε το δεδομένο ότι η ακολουθία S_n

απειρίζεται.]

Παραλλαγή προβλήματος από διαγωνισμό Ισραήλ

Παραλλαγή προβλήματος από διαγωνισμό Ισραήλ

Re: Παραλλαγή προβλήματος από διαγωνισμό Ισραήλ

Μέλη σε σύνδεση