Μηδενική συνάρτηση

mathxl · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R \to R$
τέτοια ώστε $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\eta \mu x} {f\left( t \right)dt} ,\forall x \in R$
. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) = 0,\forall x \in R$

#2

mathxl έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:R \to R$
τέτοια ώστε $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\eta \mu x} {f\left( t \right)dt} ,\forall x \in R$
. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) = 0,\forall x \in R$

Επειδή η ημχ είναι περιοδική στο [0, 2π], το ίδιο συμβαίνει και με την f (λόγω του τύπου της).
Εργαζόμαστε λοιπόν στο [0, 2π].

Για x σταθερό με 0 < x < π/2, οπότε και |ημx| < 1, ονομάζουμε M_x

το μέγιστο της |f| στο [0,x] (είναι βέβαια $M_x \ge 0$ . Έστω

(που εξαρτάται από το x) τέτοιο ώστε
M_x = |f(a)|

. Χρησιμοποιώντας ότι |ημx| $\le x$ έχουμε

$M_x = |f(a)| = |\int_0^{sina} f(x)dx| \le \int_0^{sina}|f(x)|dx \le M_x|sina| < M_x$ . (*)

Άρα M_x = 0.

Αυτό σημαίνει ότι η f μηδενίζεται σε όλα τα διαστήματα της μορφής [0, x] με 0 < x < π/2. Λόγω συνεχείας, μηδενίζεται και στα άκρα 0, π/2. Επίσης αφού ημ(π - x) = ημx, η f είναι 0 και στο [π/2, π].
Εργαζόμαστε όμοια στο [π, 2π]. ό.έ.δ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

έκανα κάποιες μικροδιορθώσεις στην λύση. Π.χ. κάποια "a" στην (*) τα είχα εκ παραδρομής "x".

#3

Μία σχολική λύση είναι :
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R (γιατί;) με f΄(x) = συνx f(x) άρα f΄(x) - συνx f(x) = 0 , e^ημx *f ΄(x) - e^ημx *f(x)συνx = 0
Άρα η συνάρτηση f(x) * e^ (- ημx) = c
Αφού f(0) = 0 τότε c = 0 και άρα f(x) = 0
Χρήστος

#4

Από κανόνα αλυσίδας, νομίζω ότι η παράγωγος του β' μέλους είναι
$f(\sin x)\cos x$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

achilleas έγραψε:Από κανόνα αλυσίδας, νομίζω ότι η παράγωγος του β' μέλους είναι
$f(\sin x)\cos x$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πολύ σωστά , η γρίπη αρχίζει να επιδρά \επανορθώνω
Χρήστος

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση