Από mathlinks (του Μπόρη!)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Από mathlinks (του Μπόρη!)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Οκτ 24, 2009 1:13 pm

Αν μου επιτρέπεις φίλε Ροδόλφε, γιατί μου φάνηκε όμορφο..

Ας υπολογισθεί το \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x+1}\,dx.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 24, 2009 2:30 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν μου επιτρέπεις φίλε Ροδόλφε, γιατί μου φάνηκε όμορφο..

Ας υπολογισθεί το \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{x+1}\,dx.
Αυτό είναι ένα ωραίο στάνταρ ολοκλήρωμα. Οφείλεται στον Euler που βρήκε άλλα τρία τέσσερα "αδελφά" ολοκληρώματα, τότε που μελέταγε την σειρά \sum_{1}^{\infty}{ \frac {1}{n^2}} = \frac{\pi^2}{6} και τα πορίσματά του όπως 1- \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac {1}{4^2} + ... = \frac{\pi^2}{12}.

Για να βρούμε το ολοκλήρωμα γράφουμε

\int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}dx = \int_0^1 (1 - x + x^2 - ...)\ln x dx και ολοκληρώνουμε όρο προς όρο, με χρήση του \int_0^1  x^n\ln x dx = -\frac{1}{(n+1)^2}. Θα βγει το παραπάνω άθροισμα.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Αναστάση,

Κοιτάω τόσην ώρα τη φωτογραφία σου και λέω "τι άλλαξε πάνω σου, τι άλλαξε" από τότε που σε είδα τελευταία φορά.
Το βρήκα!
Κουρεύτηκες!


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Σάβ Οκτ 24, 2009 3:14 pm

Ας δούμε σαν συμπλήρωμα και γιατί
\sum_{n=1}^{+\infty}\;\frac{1}{n^2}\;=\;\frac{\pi^2}{6}.
Έχουμε ,
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\;\frac{1}{n^2}\;=-\frac{1}{2}\;Res\left(\frac{\pi\cdot cot(\pi z)}{z^2};z=0}\right)=\frac{\pi^2}{6}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Από mathlinks (του Μπόρη!)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Οκτ 24, 2009 6:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αναστάση,
Κοιτάω τόσην ώρα τη φωτογραφία σου και λέω "τι άλλαξε πάνω σου, τι άλλαξε" από τότε που σε είδα τελευταία φορά.
Το βρήκα!
Κουρεύτηκες!
Ναιαιαιαιαιαιαι!!!!!!!!!! :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: Να είσαι καλά Δάσκαλε!!!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες