Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

mathxl · #1

Ένα δικής μου κατασκευής
$\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}}dx}$

#2

mathxl · #3

Μχμχμχ...προσπάθησα να βγάλω Ι-4 τις μηχανές υπολογισμού ολοκληρωμάτων αλλά στην αλλαγή μεταβλητής που έκανα για να κρύψω την ιδέα μου ξέχασα να πολλαπλασιάσω με το νέο διαφορικό...

. Διορθώνω την εκφώνηση. Το αυτό έκανα και στο μάθλινκσ
$\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx}$

#4

mathxl έγραψε:Μχμχμχ...προσπάθησα να βγάλω Ι-4 τις μηχανές υπολογισμού ολοκληρωμάτων αλλά στην αλλαγή μεταβλητής που έκανα για να κρύψω την ιδέα μου ξέχασα να πολλαπλασιάσω με το νέο διαφορικό... . Διορθώνω την εκφώνηση. Το αυτό έκανα και στο μάθλινκσ
$\displaystyle \int\limits_{ - \infty }^0 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx}$

Αααααα, τώρα αλλάζει. Το είχα προσπαθήσει αλλά δεν το έβγαλα. Από όσα είχα κατασταλάξει στο παρεμφερές ολοκλήρωμα, μπορώ τώρα να κάνω έναν ανορθόδοξο (εκτός σχολείου) αλλά σωστό τρόπο. Μπορούμε τελικά να βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα.

$\displaystyle \int{\frac{{1 - x}}{{{x^2} + {e^{2x}}}} \cdot {e^x}dx} = ... = \frac{-i}{2} \int \left( \frac{e^x+i}{e^x+ix} - \frac{e^x-i}{e^x-ix} \right) dx = \\ = \frac{-i}{2} ( \log(e^x+ix) - \log(e^x-ix) )+ c = \frac{-i}{2} \log \frac{e^x+ix}{e^x-ix} + c$

Τώρα, αν σε κάποιον δεν αρέσει η μιγαδική αυτή μορφή (δίκιο θα 'χει) δεν έχει παρά να απλοποιήσει την παράσταση (θα χρειαστεί ο ορισμός του λογαρίθμου μιγαδικού) και όταν το φέρει σε πραγματική μορφή να πει: Είδες, άμα παραγωγίσεις σου δίνει την σωστή απάντηση. Τι φωνάζεις!

Δεν άκανα τις πράξεις από εκεί και πέρα, είναι όμως ρουτίνα. Ωστόσο έβαλα τις τιμές στα όρια της ολοκλήρωσης και βγάζω τιμή π/2. Βασίλη σωστά;

Φιλικά,

Μιχάλης

edit: πρόσθεσα κάποια χ που έλειπαν.

mathxl · #5

Ναι π/2 αλλά ο τρόπος που σκέφτηκα είναι εντελώς διαφορετικός. Θα τον παρουσιάσω αν δεν "χτυπήσει" ο Σεραφείμ ή κάποιος άλλος συνάδελφος

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Δεν άκανα τις πράξεις

Βασίλη,

Τώρα έκανα τις πράξεις. Το αόριστο ολοκλήρωμα βγαίνει αρκετά συμμαζεμένο:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

το οποίο έλεγξα με παραγώγιση.

Εννοείται, βλέποντας τώρα την απάντηση, μπορεί εύκολα να επινοήσει κανείς τον τρόπο να εργαστεί. Το αφήνω, γιατί δεν είναι ο τρόπος που εργάστηκα. Πήγα βέβαια μέσω ... Θηβών, αλλά πόσες φορές στα Μαθηματικά δεν λέμε "στρενή μου γνώση να σ' είχα πρώτα"; Τρόπος του λέγειν, την πάτησα γιατί είχα στον νου μου τις αποτυχημένες προσπάθεις που έκανα για το αρχικό ολοκλήρωμα, που δεν έβγαινε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

mathxl · #8

Βασικά ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό
${\left[ {\arctan \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{1}{{1 + {{\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]}^2}}} \cdot {\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right)}}$

Το πως προέκυψε θα το εξηγήσω στο τέλος

Ύστερα ήθελα να κρύψω όσο μπορούσα τον αριθμητή διαλέγοντας κατάλληλες συναρτήσεις πχ ώστε ${f'\left( x \right)g\left( x \right)}$ =1. Έτσι έβαλα όπου $f\left( x \right) = \ln x,g\left( x \right) = x$
και σκέφτηκα το ολοκλήρωμα που δίνουν $\int\limits_0^1 {\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2} + {{\ln }^2}x}}dx}$
Με λύπη μου είδα ότι το wolframalpha το δίνει στεγνά και προσπάθησα να το κρύψω αλλάζοντας μεταβλητή. Έθεσα λοιπόν όπου $x = {e^u}$ αλλά ξέχασα να αντικαταστήσω το dx...χωρίς το dx το wolfram δεν έβγαζε τίποτα και χάρηκα αλλά ο Σεραφείμ με τον τρόπο του μου έδειξε ότι κάτι "έφαγα"

Πως μου ήρθε αυτό το πηλίκο; Ήθελα να υπολογίσω αυτό viewtopic.php?f=9&t=3671
Υπέθεσα ότι ο κατασκευαστής σκέφτηκε την $\left[ {\arctan \left( {f\left( x \right)ar\cot x} \right)} \right]$ παραγώγισα και εξίσωσα αλλά με ανεπιτυχή αποτελέσματα

Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Re: Βραδυνό ολoκλήρωμα 30

Μέλη σε σύνδεση