Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια (α)

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχής με $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ . Ας δειχθεί ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Θαρρώ πως ισχύει και αν απλά $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\in\mathbb{R}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχής με $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ . Ας δειχθεί ότι η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Θαρρώ πως ισχύει και αν απλά $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\in\mathbb{R}$ .

Ναι ισχύει και με την ασθενέστερη υπόθεση: Αν ε > 0 τότε υπάρχει Μ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε $x \ge M$ είναι |f(x) - L | <

ε/2 , όπου L τό όριο στο άπειρο της f.
Αυτό βολεύει την ομοιόμορρφη συνέχεια της f στο $[M, \infty)$ (αφού οι τιμές της f είναι ομοιόμορφα ε/2 κοντά στην L, θα είναι ε κοντά μεταξύ τους).
Όμοια εργαζόμαστε και αριστερά του 0, λαμβάνοντας ομοιόμορφη συνέχεια σε ένα $( -\infty , -N]$ .
Στο [-Ν, Μ] η f είναι ομοιόμορφα συνεχής ως συνεχής.
Τέλος, εύκολα έπεται η ομοιόμορφη συνέχεια στην ένωση R των $( -\infty , -N]$ , [-Ν, Μ], $[M, \infty)$ .

Ότι πρέπει άσκηση για διαγώνισμα Απειροστικού.... Ας το έχω υπ' όψη....

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Apologies gia ta greeklish. 8a ta dior8wsw otan brw pws ginetai ston kainourgio ypologisth.

An 8ymamai kala isxyei to akolou8o.

Mia synexhs synarthash $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ einai omoiomorfa synexhs an kai mono an yparxoyn $A,B \geqslant 0$ wste $|f(x)| \leqslant A|x| + B$ gia ka8e $x \in \mathbb{R}$ .

Το 'μόνο αν' είναι λανθασμένο όπως πολύ σωστά επεσήμανε ο Δημήτρης Σκουτέρης

dement · #4

Δημητρη, συμφωνοι για το 'μονο αν'. Δεν ειμαι τοσο σιγουρος για το 'αν'.

Αν παρουμε τη συναρτηση με f(x) = 0

για $|x| \leq \sqrt{\pi}$ και $f(x) = \sin (x^2)$ οπουδηποτε αλλου τοτε ισχυει $|f(x)| \leq |x|$ αλλα δεν ειναι ομοιομορφα συνεχης.

Δημητρης Σκουτερης

#5

Πράγματι, ισχύει η μία κατεύθυνση για το ευθύ δείτε και εδώ.

#6

dement έγραψε:Δημητρη, συμφωνοι για το 'μονο αν'. Δεν ειμαι τοσο σιγουρος για το 'αν'.

Αν παρουμε τη συναρτηση με για $|x| \leq \sqrt{\pi}$ και $f(x) = \sin (x^2)$ οπουδηποτε αλλου τοτε ισχυει $|f(x)| \leq |x|$ αλλα δεν ειναι ομοιομορφα συνεχης.

Δημητρης Σκουτερης

Δημήτρη δίκιο έχεις. Λάθος θυμόμουνα. Συγνώμη αν ταλαιπώρησα μερικούς με λανθασμένο πρόβλημα.

#7

Μια άλλη προσέγγιση:
'Εστω $\overset{\thicksim }{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}$ , $d\left( x,y\right) =\frac{\left| x-y\right| }{1+\left| x-y\right| }$ η φραγμένη μετρική του $\mathbb{R}$ που επάγει η συνήθης μετρική και η μετρική
$\displaystyle{ d^* \left( {x,y} \right) = d^* \left( {y,z} \right) = \left\{ \begin{array}{l} d\left( {x,y} \right),\,\,x,y \in \mathbb{R} \\ \,1,\,\,\,\,\,\,x = \pm \infty \,,\,y \in \mathbb{R} \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,x = y \\ \,1,\,\,\,\,\,\,\,x = \pm \infty ,y = \mp \infty \,\,\,\, \\ \end{array} \right. }$
στο $\overset{\thicksim }{\mathbb{R}}$ με την οποία είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Ορίζουμε την $f^{\ast }:\overset{\thicksim }{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}$ επεκτείνοντας την

ως εξής
$\displaystyle{ f^* \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right),\,\,\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R} \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to \pm \infty } f\left( t \right),\,\,\,\,\,x = \pm \infty \, \\ \end{array} \right. }$
Η $f^{\ast }$ είναι μία συνεχής απεικόνιση από ένα συμπαγή μετρικό χώρο σε ένα άλλο μετρικό χώρο και επομένως είναι ομοιόμορφα συνεχής. Άρα και η

είναι ομοιόμορφα συνεχής ως προς την την φραγμένη μετρική

και επομένως ως προς την συνήθη (για αρκούντως μικρό $\delta$ είναι $\frac{\left| x-y\right| }{1+\left| x-y\right| }<\delta \Leftrightarrow \left| x-y\right| <\frac{\delta }{1-\delta }$ ).
Ελπίζω να μην χάνει κάπου μιας και η ώρα δεν είναι και η καλλίτερη.
Μαυρογιάννης

Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια (α)

Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια (α)

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Θεωρητική στην ομοιόμορφη συνέχεια (α)

Μέλη σε σύνδεση