Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

#1

1) Έστω $f:I\to\mathbb{R}$ , όπου το

είναι διάστημα, παραγωγίσιμη με $|f{'}(x)|\leq M$ για κάποιο M>0

. Δείξτε ότι η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Ισχύει το αντίστροφο;

2) Έστω $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η

είναι φραγμένη.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:1) Έστω $f:I\to\mathbb{R}$ , όπου το είναι διάστημα, παραγωγίσιμη με $|f{'}(x)|\leq M$ για κάποιο . Δείξτε ότι η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Ισχύει το αντίστροφο;

2) Έστω $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η είναι φραγμένη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Antonis Loutraris · #3

Ένδιαφέρουσες ασκήσεις για την ομοιόμορφη συνέχεια..

Για το πρώτο..

Αφού η

είναι φραγμένη υπάρχει Μ>Ο τέτοιο ώστε $\mid f{'}(x)\mid \leq M$ για κάθε x.'Ετσι απο το θεώρημα μέσης τιμής για κάθε x,y με $x\ne y$ έχουμε ότι υπάρχει ξ ανάμεσα στα x και y τέτοιο ώστε :
$\mid\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\mid=\mid f{'}(\xi)\mid \leq M.$
Άρα $\mid f(x)-f(y)\mid\leq M\mid x-y\mid.$ .Δηλαδή η

είnai Lipschitz,επομένως είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Δεν ισχύει το αντίστροφο εν γένει..Ένα παράδειγμα συνάρτησης που είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά δεν είναι Lipschitz είναι η $\sqrt{x}$ στο [0,+οο).

Για το δεύτερο..

Έστω ότι η

δεν είναι φραγμένη.Τότε υπάρχει μία ακολουθία $x_{n}\in(a,b)$ τέτοια ώστε $\mid f(x_{n}) \mid > n$ για κάθε n. H $x_{n}$ είναι φραγμένη άρα απο το θεώρημα Bolzano-Weirstrass έχει συγκλίνουσα υπακολουθία,την $x_{k_{n}}$ .Aφού η $x_{k_{n}}$ συγκλίνει είναι Cauchy.Άρα και η $f (x_{k_{n}})$ είναι Cauchy επειδή η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.Επομένως και η $f (x_{k_{n}})$ συγκλίνει.Άτοπο γιατί $\mid f(x_{k_{n}})\mid > k_{n} \ge n.$

Επιπρόσθετα για το δεύτερο σκέλος μπορούμε να πούμε ότι η

επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση $f*:[a,b] \to \mathbb{R}$ .Η

είναι φραγμένη αφου είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα.Άρα και η

έιναι φραγμένη.

Φιλικά,

Αντώνης.

#4

Όμορφα!!

όμως το

Antonis Loutraris έγραψε:Aφού η $x_{k_{n}}$ συγκλίνει είναι Cauchy.Άρα και η $f (x_{k_{n}})$ είναι Cauchy επειδή η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

και το

Antonis Loutraris έγραψε: μπορούμε να πούμε ότι η επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση $f*:[a,b] \to \mathbb{R}$ .

ιδίως το δεύτερο θέλουν ένα κάποιο επιχείρημα..Τα θέτω λοιπόν προς απόδειξη:

1) Έστω $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η

επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση $f^{*}:[a,b]\to\mathbb{R}$ .

2) Έστω $f:A\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής.Αν η $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ είναι ακολουθία Cauchy

στο

, τότε και η $\{f(x_{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ είναι ακολουθία Cauchy

.

Antonis Loutraris · #5

Για το 2) αποτέλεσμα το οποίο είναι μια αρκετά όμορφη ιδιότητα των ομοιόμορφα συνεχών συναρτήσεων,που λέει ότι μία ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στέλνει συγκλίνουσες ακολουθίες σε συγκλίνουσες ακολουθίες, έχουμε τα εξής:

Έστω ε>0 και $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση.Αφου η

είναι ομοιόμορφα συνεχής υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε $x,y\in A$ με $\mid x-y \mid<\delta$ έχουμε $\mid f(x)-f(y)\mid<\epsilon$ .Αφού η $x_{n}$ είναι Cauchy υπάρχει $n_{0}$ τέτοιο ώστε $\mid x_{n}-x_{m} \mid<\delta$ για κάθε $n,m \ge n_{0}$ .Eπομένως για όλα αυτά τα n και m έχουμε $\mid f(x_{n}) - f(x_{m})\mid <\epsilon$ .Άρα η $f(x_{n})$ είναι Cauchy.

Για το πρώτο ερώτημα έχουμε τα εξής:

Αφου η

είναι ομοιόμορφα συνεχής τα όρια στα άκρα υπάρχουν και είναι πεπερασμενα

Η συνάρτηση:

$\displaystyle{f(y)=\left\{\begin{array}{ll}\lim_{x\rightarrow a}f(x), &\mathrm{if} y=a\\ f(y), &\mathrm {if} a<y<b \\ \lim_{x\rightarrow b}f(x), &\mathrm{if} y=b.}\\\end{array}\right.$

είναι συνεχής στο κλειστό [a,b] και είναι επέκταση της αρχικής

που είναι ορισμένη στο (a,b).

Φιλικά,

Αντώνης.

#6

Το (2) προκύπτει εύκολα από τους ορισμούς και συνηθίζουμε να το χρησιμοποιούμε έχοντας στο μυαλό μας το ρητό:

οι ομοιόμορφα συνεχείς στέλνουν ακολουθίες Cauchy σε ακολουθίες Cauchy.

Για το (1), να θέσω προς απόδειξη το εξής:

Έστω συνεχής στο H ομοιόμορφα συνεχής στο αν και μόνο αν τα όρια $\\lim_{x->a^+}f(x), \lim_{x->b^-}f(x)$ υπάρχουν.

Έτσι φαίνεται και πως μπορεί να οριστεί η f^*.

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Με προσπέρασε στην στροφή ο Αντώνης...

Antonis Loutraris · #7

Nίκο αξίζει να σημειωθεί ότι το αντίστροφο του αποτελέσματος που ανέφερες δεν ισχύει εν γένει.Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισμένη σε κάποιο μη φραγμένο διάστημα και το όριο στο + ή - $\infty$ δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Παράδειγμα αυτού η συνάρτηση $f(x)=sin(x),x\in\mathbb{R}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά τα όρια στο + και - $\infty$ δεν υπάρχουν.

#8

Antonis Loutraris έγραψε:Nίκο αξίζει να σημειωθεί ότι το αντίστροφο του αποτελέσματος που ανέφερες δεν ισχύει εν γένει.Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισμένη σε κάποιο μη φραγμένο διάστημα και το όριο στο + ή - $\infty$ δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Παράδειγμα αυτού η συνάρτηση $f(x)=sin(x),x\in\mathbb{R}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά τα όρια στο + και - $\infty$ δεν υπάρχουν.

Σωστή η παρατήρηση σου Αντώνη!

Νίκος

Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Re: Θεωρητικές στην ομοιόμορφη συνέχεια (β)

Μέλη σε σύνδεση