Δυναμοσειρές_01

Καραδήμας · #1

Δίνεται μια δυναμοσειρά $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ με μη τετριμμένο διάστημα σύγκλισης. Για κάθε $N=0,1,\ldots$ βάζουμε $S_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n$ . Μας δίνουν τώρα $y\neq 0$ στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης και μας λένε ότι S_N(y)<f(y)

για κάθε $N=0,1,\ldots$ . Να δειχτεί ότι $f^{\prime }(y)\neq 0$ .

Καραδήμας · #2

Να τη δούμε κι αυτή:

Δίνεται μια δυναμοσειρά $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ με μη τετριμμένο διάστημα σύγκλισης. Για κάθε $N=0,1,\ldots$ βάζουμε $S_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n$ . Μας δίνουν τώρα $y\neq 0$ στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης και μας λένε ότι για κάθε $N=0,1,\ldots$ . Να δειχτεί ότι $f^{\prime }(y)\neq 0$ .

Κι άλλη μία: Να βρεθεί $f\in C^{\infty }[0,\infty )$ τέτοια που $f^{(k)}(0)=(-1)^k(k!)^2$ για κάθε $k=0,1,2,\ldots$ .

#3

Καραδήμας έγραψε:Δίνεται μια δυναμοσειρά $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ με μη τετριμμένο διάστημα σύγκλισης. Για κάθε $N=0,1,\ldots$ βάζουμε $S_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n$ . Μας δίνουν τώρα $y\neq 0$ στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης και μας λένε ότι για κάθε $N=0,1,\ldots$ . Να δειχτεί ότι $f^{\prime }(y)\neq 0$ .

Μπορεί να ελεγχθεί ότι $\displaystyle{ f{'}(y) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f(y) - S_k(y)}{y} }$ το οποίο είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα με το αν το

είναι θετικό ή αρνητικό.

#4

Καραδήμας έγραψε: Κι άλλη μία: Να βρεθεί $f\in C^{\infty }[0,\infty )$ τέτοια που $f^{(k)}(0)=(-1)^k(k!)^2$ για κάθε $k=0,1,2,\ldots$ .

Να υπενθυμίσω μια πιο δύσκολη άσκηση που έβαλε ο peter εδώ: viewtopic.php?f=9&t=3078&p=17275#p17275

Την είχα σκεφτεί παλιά την άσκηση του peter αλλά δεν έχω λύση.

Καραδήμας · #5

Στη γενική περίπτωση είναι μια κατασκευή: παίρνεις $C^{\infty }$ συναρτήσεις w_k

με $0\leq w_k\leq 1$ , w_k(x)=1

στο

,

έξω από το (-2t_k,2t_k)

, όπου $\lim\limits_{k\to\infty }t_ka_k=0$ , και για κάθε

ορίζεις επαγωγικά $w_{k,n}(x)=\int_0^xw_{k,n-1}(t)\,dt$ , όπου $w_{k,0}=w_k$ . Μετά παίρνεις την $f=\sum_{k=1}^{\infty }a_kw_{k,k-1}$ .

Ο Peter είναι ο Βαλέττας έτσι? Στην ευκολότερη που δίνω, ζητάμε "τύπο" για την

.

Οι συντονιστές να με συγχωρούν, δεν θα ξαναπροσθέσω ασκήσεις σε παλιά θέματα. Δεν ήξερα πώς τα έχετε οργανώσει, αν θέλετε χωρίστε τα.

#6

Καραδήμας έγραψε:Στη γενική περίπτωση είναι μια κατασκευή: παίρνεις $C^{\infty }$ συναρτήσεις με $0\leq w_k\leq 1$ , στο , έξω από το , όπου $\lim\limits_{k\to\infty }t_ka_k=0$ , και για κάθε ορίζεις επαγωγικά $w_{k,n}(x)=\int_0^xw_{k,n-1}(t)\,dt$ , όπου $w_{k,0}=w_k$ . Μετά παίρνεις την $f=\sum_{k=1}^{\infty }a_kw_{k,k-1}$ .

Ευχαριστώ για την λύση. Δυο απορίες όμως:

1) Μπορώ να δείξω ότι η

είναι $C^{\infty}$ στο [-1,1]

αλλά όχι στο $\mathbb{R}$ . Αυτό δεν είναι τόσο σοβαρό πρόβλημα αφού μπορώ να κοιτάξω την $h(x) = \tilde{f}(g(x))$ όπου g(x)

οποιαδήποτε $C^{\infty}$ συνάρτηση από το $\mathbb{R}$ στο (-1,1)

με $g{'}(0)\neq 0$ και $\tilde f$ κατασκευασμένη με παρόμοιο τρόπο όπως η

(αλλά με διαφορετικά a_k

). Θα ήθελα όμως να δω πως μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι $C^{\infty}$ .

2) Πως δείχνουμε ότι η

είναι αναλυτική για $x \neq 0$ ;

Καραδήμας έγραψε: Ο Peter είναι ο Βαλέττας έτσι?

Δεν γνωρίζω.

Καραδήμας · #7

Θα χρησιμοποιούσα το γεγονός ότι μια $C^{\infty }$ συνάρτηση

είναι αναλυτική αν και μόνο αν για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα

υπάρχουν

τέτοια που $\max_{x\in I}|f^{(k)}(x)|\leq M\frac{k!}{r^k}$ . Να γράψω μια λεπτομερή περιγραφή της κατασκευής αργότερα (αν τα καταφέρω).

edit: τελικά έχεις δίκιο Δημήτρη, αυτή η κατασκευή πάσχει. Είναι πάντως γνωστό (Borel) ότι υπάρχει τέτοια $C^{\infty }$ συνάρτηση, την ορίζει κάπως διαφορετικά: $\displaystyle{f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{a_kx^kw(t_kx)}{k!}}$ με την

να είναι $C^{\infty }$ , με τιμές στο [0,1]

, να μηδενίζεται έξω από το (-1,1)

, να είναι ίση με

σε κάποιο $(-\delta ,\delta )$ , και τα t_k>1

να είναι πολύ μεγαλύτερα από |a_k|

. Για την αναλυτική ας μας πει ο Peter.

Δυναμοσειρές_01

Δυναμοσειρές_01

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρά

Re: Δυναμοσειρές_01

Μέλη σε σύνδεση